Je suis MAITRE de CONF en MATHS

Pourquoi la formule de la convolution est aussi wtf ?

À quoi sert la diagonalisation de matrice ? Qu'est-ce que cela peut représenter "visuellement" ? Je dis ça car en prépa je préférais largement l'analyse à l'algèbre car je trouvais l'analyse beaucoup plus simple à comprendre d'un point de vue visuel alors que l'algèbre a toujours été flou pour moi

Question tordue aussi : comment ça se fait que l'intégrale de gauss soit aussi omniprésente dans le domaine des statistiques ? Pourquoi cette intégrale en particulier et pas une autre alors qu'il doit bien exister d'autres fonctions qui permettent d'obtenir une courbe en cloche ?

Le 29 juin 2025 à 02:46:41 :
Pourquoi la formule de la convolution est aussi wtf ?

L'est-elle vraiment ?

Expliquons par exemple ce qui se passe avec le point de vue probabiliste. On a f et g deux densités de probabilité. On s'intéresse à la loi de X+Y où X et Y sont indépendantes, données respectivement par les densités f et g. Quelle est la densité de X+Y ?

Pour que X+Y se trouve proche d'une valeur z, il faut que X prenne une certaine valeur (disons x) et que Y se trouve proche de z-x. En agrégeant toutes les valeurs possibles pour x, ça donne l'intégrale sur x de f(x)g(z-x), soit f*g(z).

À quoi sert la diagonalisation de matrice ? Qu'est-ce que cela peut représenter "visuellement" ? Je dis ça car en prépa je préférais largement l'analyse à l'algèbre car je trouvais l'analyse beaucoup plus simple à comprendre d'un point de vue visuel alors que l'algèbre a toujours été flou pour moi

Un endomorphisme peut s'exprimer dans diverses bases. On peut penser un choix de base comme un choix de coordonnées dans lesquelles exprimer notre problème. Quand une matrice est diagonale, les calculs sont faciles, par exemple si tu cherches à élever ta matrice à la puissance n.

Se pose alors naturellement la question : étant donné un endomophisme, y a-t-il un choix de coordonnées où la matrice est diagonale ? Et voilà, on arrive à la diagonalisation.

"Visuellement", un endomorphisme diagonalisable dans une base (v1,...,vn), ça veut dire que pour chaque i, il dilate par un certain lambda(i) dans la direction vi. Bref, vu dans ses coordonnées, c'est rien d'autre qu'une bête dilatation dans chaque direction coordonnée, par un coefficient qui dépend de la direction.

Par contre, si tu regardes des directions "obliques" par rapport à ces coordonnées, tu superposes des dilatations avec des coefficients différents donc ça redevient un chouïa plus compliqué.

Question tordue aussi : comment ça se fait que l'intégrale de gauss soit aussi omniprésente dans le domaine des statistiques ? Pourquoi cette intégrale en particulier et pas une autre alors qu'il doit bien exister d'autres fonctions qui permettent d'obtenir une courbe en cloche ?

Soient des variables aléatoires Xi indépendantes identiquement distribuées et de variance finie non nulle. Alors le théorème central limite dit que quand on fait X1+...+Xn et qu'on regarde de loin à quoi ça ressemble, alors (en soustrayant/divisant par ce qu'il faut) on tombe toujours sur une gaussienne à la limite. C'est le théorème central limite.

C'est ce théorème le coupable : sous des hypothèses très peu restrictives, il fait toujours popper la gaussienne ! Elle a donc des propriétés d'universalité : elle apparaît dans des contextes très variés.

Cela ricoche vers la question de pourquoi ce théorème est vrai, de pourquoi c'est toujours gaussien. Là, je ne vois pas de façon non technique d'expliquer la chose : c'est un théorème qui n'a rien d'évident a priori, je trouve.

Une façon de le comprendre est via le résultat suivant : si X est une variable aléatoire de variance finie et Y de même loi que X et si de plus X+Y a la même loi que racine(2)X, alors X est gaussienne. En effet, on peut se convaincre que si on a une limite de type "théorème central limite", alors la loi limite devra avoir ce type de propriété. Le fait que seule les gaussiennes aient cette propriété explique que ce soit toujours des gaussiennes en conclusion du théorème central limite.

Mais bon, on a repoussé un cran plus loin : le résultat du paragraphe précédent n'est pas clair et doit être démontré "dans le dur", en faisant des maths.

Une autre façon passe par le calcul de E(exp(itX)) et les formules de Taylor. La démo est assez efficace et convaincante mais elle n'est pas intuitive et ne se raconte par exemple pas au grand public : elle passe par de la technique.

Il y a d'autres démonstrations encore mais toutes les approches qui me viennent à l'instant ont un moment où on doit se retrousser les manches. C'est pas forcément plus mal : ça veut dire que l'attirail théorique mathématique sert vraiment, qu'il n'est pas là uniquement pour rédiger méticuleusement ce qu'on saurait faire par l'intuition pure. Disant cela, je ne dénigre ni l'intuition, ni le fait de rédiger méticuleusement. De fait, je trouve ces deux aspects des maths importants eux aussi

Le 29 juin 2025 à 03:00:47 :
Et d'ailleurs, c'est quoi une tribu en probabilité ? Quand j'étais en prépa, il y avait ce mot dans certaines définition la seule explication du prof était que "c'est hors programme et trop compliqué à notre niveau"

Ca, j'y avais un peu répondu dans un vieux topic, voir ici dans l'onglet "espérance conditionnelle"
https://www.jeuxvideo.com/forums/message/1022441949

Une tribu, c'est une collection de parties de ton univers Oméga. Intuitivement, ça va être tous les événements que tu t'autorises à gérer.

Typiquement, si Oméga est fini ou dénombrable, tu vas sûrement prendre toutes les parties de Oméga.

Si Oméga n'est pas dénombrable, par exemple R, tu voudrais sûrement continuer de prendre toutes les parties : pourquoi se priver ? Mais il se trouve que pour des raisons techniques, définir par exemple la longueur d'une partie totalement arbitraire de R, ça peut mener à des glitchs ! Par exemple, Vitali a trouvé des paradoxes autour de ça.

Vu qu'on veut éviter les glitchs en maths, on va se restreindre à une collection de parties où la notion de longueur peut être bien définie et se comporte bien. C'est à ça que servent les tribus !

Une tribu sur un ensemble Oméga, c'est un ensemble de parties de Oméga (on qualifie les parties retenues de "mesurables") tel que :
1. Oméga est mesurable,
2. le complémentaire de n'importe quelle partie mesurable est toujours mesurable.
3. toute union dénombrable de parties mesurables est mesurable.

Donc un ensemble Oméga peut être muni de diverses tribus. Si je décrète que seuls Oméga et Vide sont mesurables, ça fait une tribu, qui est la plus petite possible. Si je décrète que toutes les parties sont mesurables, ça en fait une aussi, la plus grande possible. Et entre les deux, y a plein d'autres tribus qu'on peut regarder.

Dans le contexte "gérer un maximum d'événements dans notre théorie", plus notre tribu est grande, plus on est contents. En gros, on veut une tribu sur laquelle on arrive à harmonieusement définir nos probabilités ; et parmi les tribus où on arrive à faire cela, plus la tribu est grande mieux c'est (ça veut dire qu'on sait gérer plein de situations)

Par exemple, pour mesurer la longueur de parties de R, on travaille souvent avec la tribu borélienne : c'est la plus petite tribu qui contienne tous les intervalles. Elle contient alors plein de choses ! Tous les ouverts, tous les fermés, l'ensemble Q des rationnels, son complémentaire, et plein d'autres choses !

Après, les tribus peuvent servir à d'autres choses. En probabilités plus avancées, elles servent aussi à encoder de l'information. Par exemple, si j'ai une variable aléatoire X, je voudrai un objet mathématique qui encode "les événements formulables à partir de l'observation de X". Cet objet, ce sera une tribu, à savoir la tribu de tous les événements de la forme {X vérifie quelque chose}.

Dans cette nouvelle optique plus avancée, il n'est plus le cas que "plus la tribu est grosse mieux c'est". Les tribus ne sont alors plus là uniquement pour éviter les glitchs à la Vitali ; elles sont là pour capturer de l'information. La tribu n'a pas à être grande ou petite mais à rendre compte fidèlement de la quantité d'informations lisible dans noter variable

En tout cas une tribu constitue une classe de parties qui est stable par pas mal d'opération (complémentaire, unions finies ou dénombrables, et en fait aussi intersections finies ou dénombrables).

Quand on a un cadre, le fait qu'il permette pas mal d'opérations est souvent une bonne nouvelle. Ca veut dire qu'on peut travailler de façon assez flexible. On peut effectuer plein d'opérations, et ce sans jamais avoir à changer de cadre

Je trouve que la convolution est plus naturelle quand on travaille avec des objets plus avancés que les fonctions, à savoir les mesures. Dans ce cadre, la définition est plus courte et naturelle ("la mesure image par l'addition de la mesure produit").

La convolution pour les fonctions n'est pour moi que la traduction côté fonction de cette définition pour les mesures. Mais cette traduction est un peu laborieuse, ce qui peut expliquer que ça ne te parle pas plus que ça.

Le 05 juillet 2025 à 16:43:46 :
Des questions

Je gère tout ce qui est récurrence

Mais quand il s'agit d'étudier la notion de récurrence de manière plus générale et abstraite je suis perdu : ça s'appelle l'induction en logique

Alors peux-tu m'expliquer les raisonnements du type induction structurelle sur l'ensemble des formules pour démontrer une propriété donnée ? Merci

https://www.reddit.com/r/france/comments/1lrcr7w/%C3%A7a_fais_20_ans_que_je_fait_de_la_g%C3%A9om%C3%A9trie/

Sinon j'ai trouvé cette parodie hier, dommage que les modos aient supprimé, j'aurais dû copier

Le 05 juillet 2025 à 19:45:43 :

Le 05 juillet 2025 à 16:43:46 :
Des questions

Je gère tout ce qui est récurrence

Mais quand il s'agit d'étudier la notion de récurrence de manière plus générale et abstraite je suis perdu : ça s'appelle l'induction en logique

Alors peux-tu m'expliquer les raisonnements du type induction structurelle sur l'ensemble des formules pour démontrer une propriété donnée ? Merci

Tu savais qu'on pouvait prouver que la récurrence est un raisonnement valide ?

Si par l'absurde l'ensemble des entiers tels que l'hypothèse de récurrence soit fausse était non vide, il admettrait un élément minimal. Mais alors l'hypothèse de récurrence serait fausse au rang précédent cet indice minimal. Cela contredit le caractère minimal supposé. Donc le dit ensemble est vide et la propriété est vraie pour tout entier.

J'ai toujours trouvée cette preuve drôle.

Le 05 juillet 2025 à 19:58:18 :

Le 05 juillet 2025 à 19:45:43 :

Le 05 juillet 2025 à 16:43:46 :
Des questions

Je gère tout ce qui est récurrence

Mais quand il s'agit d'étudier la notion de récurrence de manière plus générale et abstraite je suis perdu : ça s'appelle l'induction en logique

Alors peux-tu m'expliquer les raisonnements du type induction structurelle sur l'ensemble des formules pour démontrer une propriété donnée ? Merci

Tu savais qu'on pouvait prouver que la récurrence est un raisonnement valide ?

Si par l'absurde l'ensemble des entiers tels que l'hypothèse de récurrence soit fausse était non vide, il admettrait un élément minimal. Mais alors l'hypothèse de récurrence serait fausse au rang précédent cet indice minimal. Cela contredit le caractère minimal supposé. Donc le dit ensemble est vide et la propriété est vraie pour tout entier.

J'ai toujours trouvée cette preuve drôle.

Oui, mais il faut d'abord démontrer le théorème du bon ordre de Zermelo pour cela

Le 05 juillet 2025 à 20:08:28 :

Le 05 juillet 2025 à 19:58:18 :

Le 05 juillet 2025 à 19:45:43 :

Le 05 juillet 2025 à 16:43:46 :
Des questions

Je gère tout ce qui est récurrence

Mais quand il s'agit d'étudier la notion de récurrence de manière plus générale et abstraite je suis perdu : ça s'appelle l'induction en logique

Alors peux-tu m'expliquer les raisonnements du type induction structurelle sur l'ensemble des formules pour démontrer une propriété donnée ? Merci

Tu savais qu'on pouvait prouver que la récurrence est un raisonnement valide ?

Si par l'absurde l'ensemble des entiers tels que l'hypothèse de récurrence soit fausse était non vide, il admettrait un élément minimal. Mais alors l'hypothèse de récurrence serait fausse au rang précédent cet indice minimal. Cela contredit le caractère minimal supposé. Donc le dit ensemble est vide et la propriété est vraie pour tout entier.

J'ai toujours trouvée cette preuve drôle.

Oui, mais il faut d'abord démontrer le théorème du bon ordre de Zermelo pour cela

Oui, disons que le principe de récurrence et "N est un ensemble bien ordonné" sont deux façons de dire la même chose. Ensuite, soit on suppose l'un des deux comme axiome, soit on part un cran plus bas en termes de fondements et on cherche à démontrer le truc.

Le 05 juillet 2025 à 19:45:43 :

Le 05 juillet 2025 à 16:43:46 :
Des questions

Je gère tout ce qui est récurrence

Mais quand il s'agit d'étudier la notion de récurrence de manière plus générale et abstraite je suis perdu : ça s'appelle l'induction en logique

Alors peux-tu m'expliquer les raisonnements du type induction structurelle sur l'ensemble des formules pour démontrer une propriété donnée ? Merci

Imagine que tu as des structures qui se construisent et que les règles sont du type suivant :

1. certains objets initiaux nous sont fournis et on décrète que ce sont des objets admissibles,
2. certaines opérations nous sont fournies,
3. on décrète qu'appliquer des opérations à des objets admissibles donne un objet qu'on qualifie à son tour d'admissible,
4. on ne déclare rien d'autre d'admissible que ce qu'on parvient à construire de la sorte.

Imaginons qu'on veuille montrer que tout objet admissible a une propriété P. Alors il suffit de montrer que :

1. tous les objets initiaux ont la propriété P,
2. si on applique notre opération à des objets qui ont P, alors l'objet ainsi obtenu a P lui aussi.

Pourquoi est-ce vrai ? Bah quand un objet est construit, on peut écrire dans un cahier les constructions qui y aboutissent. Dans notre cahier, la première ligne sera forcément un objet initial, qui a donc P. Puis chaque nouvelle ligne soit introduira un objet initial (qui a donc P), soit combinera des objets plus haut dans le cahier (qui ont P). Par récurrence forte sur la ligne du cahier où on a rendu, on a que le cahier ne contient que des objets qui ont P. Donc le dernier objet du cahier a P. Or c'était un objet admissible arbitraire

Bref, si tu construis des objets uniquement en partant de briques de base qui sont cools et en combinant des opérations qui préservent la coolitude, alors toute ta construction se passe en interne dans le monde des objets "cools". Aucune étape de ta construction ne te permettrait de t'en échapper. Ce monde étant "clos", on ne s'en échappe pas et tous les objets sont cools

J'ai présenté la rédaction avec un cahier qui garde bien l'idée que la construction tient en un nombre fini de lignes. Cela est valable dans pas mal de contextes dont, je pense, ceux qui t'intéressent. Mais on peut formuler les choses de sortes que ça continue d'être valide même en autorisant, par exemple, des opérations qui mangent une infinité d'objets (dont le n-ème pourrait prendre par exemple n étapes à être construit). Dans ce cas, au lieu de raisonner en termes de cahier, raisonner en termes de monde clos permet de continuer de s'en sortir. Alternativement, on commence à rôder autour de mots tels que "noethérien" et "ordinaux".

Le 05 juillet 2025 à 20:16:57 :
Comment faire des présentations de qualité en maths pures? Est-ce vrai que les slides ne doivent pas être trop remplies? Que c'est la loose d'utiliser powerpoint au lieu de Beamer? qu'il ne faut pas détailler les preuves?

Les présentations au tableau sont plus faciles à suivre.

Je pense en effet qu'il vaut mieux avoir des slides légères.

Inspire-toi d'exposés que tu trouves bons.

De nos jours, powerpoint fait des trucs très bien si on sait s'en servir. Ca peut donner des trucs supérieurs à beamer. Il y a aussi l'option des slides manuscrites via une tablette, si on écrit très proprement.

Les démonstrations mathématiques, c'est dur, aussi bien à expliquer côté orateur qu'à suivre côté public. De ce fait, si on essaie de vraiment en faire une en exposé, ça peut facilement mal se passer. Pour cela, on s'en tient généralement à expliquer les idées générales, la stratégie. Dans le cas contraire, il faut s'assurer qu'on ne veut pas raconter une démonstration trop ambitieuse et bien y passer tout le temps nécessaire. Si tu ne peux pas y passer suffisamment de temps pour que tout devienne digeste pour quelqu'un qui n'a jamais croisé cette preuve, alors c'est un signe qu'il ne faut pas s'engouffrer là-dedans

Un entre-deux consiste à isoler un point facile qui joue un rôle important et à faire une démonstration propre de ce point facile. Ce genre d'approches ne fait pas forcément l'unanimité mais moi j'aime bien.

Répète tes premiers exposés devant des gens que tu connais et qui ont le niveau mathématique du public visé. Au moins au début, la seule façon de savoir si ça marche, c'est d'essayer. Ensuite, tu prends en compte les retours, puis tu retestes avec d'autres potes (ou les mêmes)...

Ca prend du temps, comme pour se former à n'importe quel "art".