Je suis MAITRE de CONF en MATHS

Le 13 avril 2025 à 22:14:07 :
Et mec. J'voulais juste de dire merci pour ces topics, beaucoup disent que le forum est pourri, toxique et en fin de vie.
Ils ont pas tort, mais y a quand même des topics qui spawnent, ou des mecs comme toi qui font de ce forum un forum qui vaut la peine d'être connu, donc ouais merci

Le 13 avril 2025 à 19:57:48 :
Ton sentiment sur les catégories ? Et sur les treillis de Tamari ?

Les catégories ont ma sympathie et je ne connais pas ton treillis

Le 13 avril 2025 à 19:59:20 :
Je fais trop souvent des erreurs dans mes calculs de limites, comment m'améliorer ?

Comme dans la plupart des domaines : pratiquer régulièrement en se concentrant et en analysant ses erreurs. Plutôt que de faire 200 calculs de limite, tu en fais 10 de façon soignée, puis tu compares tes calculs aux corrigés et tu analyses soigneusement la nature de chacune de tes erreurs. Quelle précaution aurais-tu pu prendre pour détecter telle erreur ou éviter telle inattention ? En découvrant ces précautions puis en les appliquant, tu progresseras. En progressant plusieurs fois, tu deviendras bon

Le 13 avril 2025 à 19:59:42 :
T'es plus analyse ou algèbre ? Et pourquoi analyse ?

J'aime les maths

Le 13 avril 2025 à 22:08:46 :

Le 13 avril 2025 à 19:44:52 :
Je suis en train de regarder la preuve que tu m'as montré, mais j'ai du mal avec les preuves qui font intervenir des objets infinis depuis que j'ai appris que deux séries pouvaient sommer exactement les mêmes éléments, mais converger vers des valeurs différentes, ça veut dire qu'une propriété de base de l'addition, la commutativité, a été perdue lors de l'opération.

Si on perd la commutativité sur des additions infinies, pourquoi ne pourrait-on pas perdre la capacité à trouver un élément dans un ensemble infini?

Alors déjà, on ne perd la commutativité qu'à cause du problème "infini moins l'infini". Si tu prends des séries à termes positifs, toutes les sommes envisageables sont égales.

Tu dis que le bug vient de l'infini. On pourrait aussi, à la lumière de ce que je viens de dire, arguer qu'il vient de la soustraction. Veux-tu bannir à vie la soustraction dans tous les contextes ? Probablement pas. Pareil pour l'infini.

La situation est que les séries qui donnent n'importe quoi, c'est d'abord arriver dans les maths comme une pratique un peu yolo. On tente des choses et tant que ça marche, ça marche ; quand ça foire, on recule et tente autre chose. Ca ne veut pas dire que les séries sont à proscrire. Ca veut dire que, dans un premier temps, c'était une théorie non rigoureuse, pas fondée de manière nette et précise.

Maintenant, on a une théorie qui permet de parler d'ensembles infinis de manière très nette et précise. Dès lors, pourquoi s'en priver ? Par ailleurs, cette théorie permet de définir la notion de série convergente et de tirer au clair les pratiques yolo d'antan : de justifier la plupart des trucs qui marchent, de démystifier les arnaques dans ce qui ne marchait pas, etc

Bref, vu de loin, ton raisonnement tient la route. Mais vu de près, à part à avoir le mot infini en commun, y a d'un côté une théorie propre et de l'autre la théorie des séries. La théorie des séries qui, jadis, n'était pas propre et qui, aujourd'hui, est propre et où des phénomènes chelous mais valables ont lieu. Donc aucune raison de rejeter les séries, et encore moins la théorie des ensembles infinis

Je sais, il suffit que la série soit absolument convergente pour ne pas avoir de problème.

Il existe une preuve qu'il existe un moyen de choisir n'importe quel élément de n'importe quel ensemble infini? Si elle existe, mon inquiétude est infondée, mais sinon ?

Le 13 avril 2025 à 20:02:11 :
Est-il déjà arrivé/penses-tu qu'il soit possible qu'une grosse conjecture ou un gros problème ouvert (je parle vraiment des plus gros: ceux sur lesquels des milliers de mathématiciens partout dans le monde se sont penchés pendant des décennies sans que ça n'aboutisse. Ceux dont le nom est connu même par les matheux qui ne bossent pas sur ce sujet) soit résolu par un chercheur "lambda" (pas un Terence Tao ou Ramanujan, dont le génie crève les yeux depuis l'enfance. Pas non plus un Villani, qui a fait LLG + super classement à l'ENS. Je parle vraiment d'un type dont le cv n'avait jusque là rien d'impressionnant.), plus ou moins par hasard ?

En gros j'imagine un matheux lambda qui bosserait sur un problème quasi complétement délaissé du reste de la communauté, en géométrie discrète par exemple (j'ai pris un domaine au pif). Il bosse quelques années dessus et finit par le résoudre. Il continue à creuser le sujet pour résoudre des questions annexes, et en fait à force de creuser il s'aperçoit que "eh mais en fait, mon problème initial est équivalent à tel problème d'arithmétique ! c'était pas évident à voir, c'est marrant !" "Bordel mais ce problème d'arithmétique, il était jusque là non-résolu et considéré extrêmement dur comme équivalent à Syracuse [d'après tel article de recherche]". "Bordel mais j'ai résolu Syracuse".

De la sérendipité, quoi

En gros, je dirais "oui mais c'est assez exceptionnel".

J'entends par là que résoudre un problème majeur par pure sérendipité, sans que de plus ce soit combiné à un certain solide niveau mathématique, ça commence à faire beaucoup.

Ca me fait penser à certains progrès notables sur la théorie des pavages faits par des amateurs ou encore à ceci :
https://www-independent-co-uk.translate.goog/news/science/that-figures-professor-who-had-to-work-at-subway-dazzles-world-of-maths-after-solving-centuriesold-prime-number-riddle-8625637.html?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=fr&_x_tr_hl=fr&_x_tr_pto=sc

Si on enlève la contrainte "problème majeur" ou "matheux lambda", alors la sérendipité est assez fréquente. Il est relativement fréquent qu'un problème d'un domaine en débloque un autre, et ce sans que ce soit anticipé. C'est en partie ce qui fait qu'explorer la recherche théorique n'est pas absurde.

Le 13 avril 2025 à 21:47:15 :
Après, il me semble avoir lu qu'il existe un ensemble d'axiomes qui permet de pouvoir prouver "ma théorie est cohérente", mais on doit se passer de la multiplication dans l'exemple que j'ai vu (même si je ne vois pas en quoi on ne peut pas construire la multiplication à partir de l'addition)
Tu as une idée de pourquoi on est pas parti de ça?

En gros, si tu bosses sur une théorie rikiki qui ne regarde pas des phénomènes très complexes, alors on peut la comprendre. C'est le cas par exemple de la géométrie euclidienne. On peut se restreindre à ça mais on serait plus intéressé de comprendre la théorie globale qui encapsule la totalité des mathématiques. Si on pouvait tout décider dans cette théorie ou démontrer qu'elle est cohérente, ce serait stylé. Plutôt que de dire "je comprends l'addition" ou "je comprends la géométrie euclidienne", ce serait "je comprends les maths"

Eh bien Gödel dit qu'on ne peut pas faire ça, au sens suivant. Si tu prends une théorie suffisamment vaste pour pouvoir fonder les maths en son sein alors, en restant à l'intérieur de cette même théorie, tu n'arriveras pas à établir la cohérence de ta théorie

Historiquement, l'objectif de Hilbert était bien de comprendre les maths, pas l'addition. D'où le fait que l'accent ait été mis sur ce degré de généralité.

Le 13 avril 2025 à 22:22:01 EIBougnador a écrit :

Le 13 avril 2025 à 19:59:42 :
T'es plus analyse ou algèbre ? Et pourquoi analyse ?

J'aime les maths

Certes, mais tu ne réponds pas à la quesiton, ce qui veut dire que tu fais un hors sujet. Généralement au bac c'est zéro.

Je suis une immense brêle en mathématiques.
J'aime pourtant beaucoup penser en concepts et en termes abstraits mais toujours dans les limites de la langue "commune".
Dès que je lis des échanges au sujet des mathématiques je ne comprends strictement rien j'ai l'impression qu'un terme sur trois renvoie à des choses qui ne représentent rien pour moi.
J'ai abandonné les mathématiques en seconde.

Qu'est-ce que tu me recommanderais pour développer un savoir mathématique basique et nécessaire à un apprentissage plus profond ? En partant d'aussi loin que moi ?

Le 13 avril 2025 à 22:33:49 :

Le 13 avril 2025 à 22:08:46 :

Le 13 avril 2025 à 19:44:52 :
Je suis en train de regarder la preuve que tu m'as montré, mais j'ai du mal avec les preuves qui font intervenir des objets infinis depuis que j'ai appris que deux séries pouvaient sommer exactement les mêmes éléments, mais converger vers des valeurs différentes, ça veut dire qu'une propriété de base de l'addition, la commutativité, a été perdue lors de l'opération.

Si on perd la commutativité sur des additions infinies, pourquoi ne pourrait-on pas perdre la capacité à trouver un élément dans un ensemble infini?

Alors déjà, on ne perd la commutativité qu'à cause du problème "infini moins l'infini". Si tu prends des séries à termes positifs, toutes les sommes envisageables sont égales.

Tu dis que le bug vient de l'infini. On pourrait aussi, à la lumière de ce que je viens de dire, arguer qu'il vient de la soustraction. Veux-tu bannir à vie la soustraction dans tous les contextes ? Probablement pas. Pareil pour l'infini.

La situation est que les séries qui donnent n'importe quoi, c'est d'abord arriver dans les maths comme une pratique un peu yolo. On tente des choses et tant que ça marche, ça marche ; quand ça foire, on recule et tente autre chose. Ca ne veut pas dire que les séries sont à proscrire. Ca veut dire que, dans un premier temps, c'était une théorie non rigoureuse, pas fondée de manière nette et précise.

Maintenant, on a une théorie qui permet de parler d'ensembles infinis de manière très nette et précise. Dès lors, pourquoi s'en priver ? Par ailleurs, cette théorie permet de définir la notion de série convergente et de tirer au clair les pratiques yolo d'antan : de justifier la plupart des trucs qui marchent, de démystifier les arnaques dans ce qui ne marchait pas, etc

Bref, vu de loin, ton raisonnement tient la route. Mais vu de près, à part à avoir le mot infini en commun, y a d'un côté une théorie propre et de l'autre la théorie des séries. La théorie des séries qui, jadis, n'était pas propre et qui, aujourd'hui, est propre et où des phénomènes chelous mais valables ont lieu. Donc aucune raison de rejeter les séries, et encore moins la théorie des ensembles infinis

Je sais, il suffit que la série soit absolument convergente pour ne pas avoir de problème.

Il existe une preuve qu'il existe un moyen de choisir n'importe quel élément de n'importe quel ensemble infini? Si elle existe, mon inquiétude est infondée, mais sinon ?

Ca dépend de ce que tu appelles "choisir". Traditionnellement, choisir dans un ensemble non vide n'est pas problématique : tu dis "sois". C'est quand on fait une infinité de choix que ça devient tricky

Il n'y a pas de consensus quasi-universel quant au fait qu'il devrait exister ou non une fonction qui, pour tout ensemble non vide, permet de sélectionner un élément dedans. Ce qui ne contredit pas mon paragraphe précédent.

Mais de toute façon, dans la preuve de Yann Ollivier, on s'en fout, y a pas besoin de faire des choix trop subtils, si ?

Après, c'est le genre de discussions assez délicat à mener. On ne peut pas empêcher quelqu'un d'être sceptique de tout (je ne dis pas que tu tombes dans cette attitude caricaturale). Les mathématiciens font confiance aux théories qui ont la propriété de n'avoir mené à aucun bug même quand des gens ont essayé de faire des folies ; et ils écartent les théories où des bugs ont été repérés. Ce que j'affirme, c'est que les maths dont je parle sont du côté solide de la barrière.

Mais j'aurai du mal à t'en convaincre car l'argument pour ça n'est pas tant un argument en quelques lignes que le constat historique "on taffe dedans et tout s'emboîte bien de façon remarquable". Constat qu'on peut faire à sa propre échelle si on a baigné un certain nombre d'années dans la version actuelle des maths. Mais constat difficilement transmissible.

Le 13 avril 2025 à 22:38:02 :
je bite toujours rien à la cohomologie en général (et aux cohomologies de De Rham/Dolbeaut et des groupes plus particulièrement) malgré les avoir abordées plusieurs fois en cours même si c'était pas des exposés en détails. C'est quoi l'idée générale, l'essence de ces objets selon toi ? Je vois bien les résultats que ça permet mais le processus ressemble à de la magie noire pour moi

Pas clair pour moi. J'ai l'impression que le délire est d'avoir une théorie gérant de façon algébriquement efficace les questions d'obstructions quand on passe d'une dimension à la suivante. Et euh voilà...

Le 13 avril 2025 à 22:38:38 :

Le 13 avril 2025 à 21:47:15 :
Après, il me semble avoir lu qu'il existe un ensemble d'axiomes qui permet de pouvoir prouver "ma théorie est cohérente", mais on doit se passer de la multiplication dans l'exemple que j'ai vu (même si je ne vois pas en quoi on ne peut pas construire la multiplication à partir de l'addition)
Tu as une idée de pourquoi on est pas parti de ça?

En gros, si tu bosses sur une théorie rikiki qui ne regarde pas des phénomènes très complexes, alors on peut la comprendre. C'est le cas par exemple de la géométrie euclidienne. On peut se restreindre à ça mais on serait plus intéressé de comprendre la théorie globale qui encapsule la totalité des mathématiques. Si on pouvait tout décider dans cette théorie ou démontrer qu'elle est cohérente, ce serait stylé. Plutôt que de dire "je comprends l'addition" ou "je comprends la géométrie euclidienne", ce serait "je comprends les maths"

Eh bien Gödel dit qu'on ne peut pas faire ça, au sens suivant. Si tu prends une théorie suffisamment vaste pour pouvoir fonder les maths en son sein alors, en restant à l'intérieur de cette même théorie, tu n'arriveras pas à établir la cohérence de ta théorie

Historiquement, l'objectif de Hilbert était bien de comprendre les maths, pas l'addition. D'où le fait que l'accent ait été mis sur ce degré de généralité.

Sauf qu'il n'y a peut être pas d'unicité de "les maths", peut être qu'il existe des choses intéressantes que l'on ne peut prouver qu'en utilisant des axiomes incompatibles avec d'autres axiomes nécessaires à d'autres résultats intéressants
Du coup je me contredit un peu, mais ça voudrait dire que "les maths" ne peuvent être saisis par un seul groupe d'axiomes, mais plutôt par l'ensemble des groupes d'axiomes dont la cohérence est non réfutable

Ca y est, je commence la branlette

Le 13 avril 2025 à 22:45:31 :
Je suis une immense brêle en mathématiques.
J'aime pourtant beaucoup penser en concepts et en termes abstraits mais toujours dans les limites de la langue "commune".
Dès que je lis des échanges au sujet des mathématiques je ne comprends strictement rien j'ai l'impression qu'un terme sur trois renvoie à des choses qui ne représentent rien pour moi.
J'ai abandonné les mathématiques en seconde.

Qu'est-ce que tu me recommanderais pour développer un savoir mathématique basique et nécessaire à un apprentissage plus profond ? En partant d'aussi loin que moi ?

Je ne sais pas. Probablement commencer par rattraper le programme de lycée par des ouvrages et vidéos appropriées (Yvan Monka ?), puis passer au début du programme du supérieur.

Peut-être du côté des chaînes youtube qui sont plus proches du côté universitaire que du côté vulgarisation divertissante

Désolé de ne pas avoir de réponse plus convaincante que ça. Si un khey a mieux, s'il vous plait prenez le relai !

Surtout que, oui, effectivement, un outillage mathématique aide à penser plus clairement, même tout à fait en dehors des maths. C'est un peu ça la force des maths, d'ailleurs. Des rudiments de logique, de raisonnement. Et quelques notions de maths. Par exemple, la notion de graphe (pas le graphe d'une fonction mais un graphe formé de sommets reliés par des arêtes) est une notion pas très compliquée et pourtant très utile.

Sur un terrain plus conceptuel, une notion du début des maths du supérieur est capturée par les mots clés : relation d'équivalence ; isomorphe (isomorphisme). Derrière ce mot barbare se cache la question "quand et en quel sens (et de quelle façon) peut-on dire que deux objets sont égaux ?"

Potentiellement, si tu tombes soit sur des kheys motivés soit si t'as les moyens de te payer un prof particulier compétent, je pense qu'en un temps raisonnable, on peut te faire acquérir la maîtrise de certaines notions qui aident à penser plus clairement. Je n'aurai hélas pour ma part pas le temps ou l'énergie/motivation de m'engager dans quelque chose de ce genre.

Il y a un discord de Questions Mathématiques qui avait été issu du forum il y a genre 5-6 ans. Des kheys ont le lien, c'est obligé. Probablement que là-bas, tu pourrais trouver des gens pour t'accompagner dans ta quête

Le 13 avril 2025 à 22:48:04 EIBougnador a écrit :

Le 13 avril 2025 à 22:38:02 :
je bite toujours rien à la cohomologie en général (et aux cohomologies de De Rham/Dolbeaut et des groupes plus particulièrement) malgré les avoir abordées plusieurs fois en cours même si c'était pas des exposés en détails. C'est quoi l'idée générale, l'essence de ces objets selon toi ? Je vois bien les résultats que ça permet mais le processus ressemble à de la magie noire pour moi

Pas clair pour moi. J'ai l'impression que le délire est d'avoir une théorie gérant de façon algébriquement efficace les questions d'obstructions quand on passe d'une dimension à la suivante. Et euh voilà...

Ah bon merci quand même c'est un peu rassurant (ou pas?), après je suppose que la topologie algébrique et tout ça ce n'est pas ce qui te passionne du coup

Tu as de bons scores sur math exchange/overflow?

Les pros des maths ne sont pas trop durs avec les downvotes dès qu'il ne s'agit pas de très belles et profondes questions ?

Khey je vais reprendre la fac de math après avoir arrêté les études pendant 2 ans, j'ai eu un bac scientifique

Tu me conseille de reprendre depuis le programme de 1ere ou terminale pour me remettre dans le bain ? Ou rien faire et me remettre dedans en septembre ?

Le 13 avril 2025 à 22:46:28 :

Le 13 avril 2025 à 22:33:49 :

Le 13 avril 2025 à 22:08:46 :

Le 13 avril 2025 à 19:44:52 :
Je suis en train de regarder la preuve que tu m'as montré, mais j'ai du mal avec les preuves qui font intervenir des objets infinis depuis que j'ai appris que deux séries pouvaient sommer exactement les mêmes éléments, mais converger vers des valeurs différentes, ça veut dire qu'une propriété de base de l'addition, la commutativité, a été perdue lors de l'opération.

Si on perd la commutativité sur des additions infinies, pourquoi ne pourrait-on pas perdre la capacité à trouver un élément dans un ensemble infini?

Alors déjà, on ne perd la commutativité qu'à cause du problème "infini moins l'infini". Si tu prends des séries à termes positifs, toutes les sommes envisageables sont égales.

Tu dis que le bug vient de l'infini. On pourrait aussi, à la lumière de ce que je viens de dire, arguer qu'il vient de la soustraction. Veux-tu bannir à vie la soustraction dans tous les contextes ? Probablement pas. Pareil pour l'infini.

La situation est que les séries qui donnent n'importe quoi, c'est d'abord arriver dans les maths comme une pratique un peu yolo. On tente des choses et tant que ça marche, ça marche ; quand ça foire, on recule et tente autre chose. Ca ne veut pas dire que les séries sont à proscrire. Ca veut dire que, dans un premier temps, c'était une théorie non rigoureuse, pas fondée de manière nette et précise.

Maintenant, on a une théorie qui permet de parler d'ensembles infinis de manière très nette et précise. Dès lors, pourquoi s'en priver ? Par ailleurs, cette théorie permet de définir la notion de série convergente et de tirer au clair les pratiques yolo d'antan : de justifier la plupart des trucs qui marchent, de démystifier les arnaques dans ce qui ne marchait pas, etc

Bref, vu de loin, ton raisonnement tient la route. Mais vu de près, à part à avoir le mot infini en commun, y a d'un côté une théorie propre et de l'autre la théorie des séries. La théorie des séries qui, jadis, n'était pas propre et qui, aujourd'hui, est propre et où des phénomènes chelous mais valables ont lieu. Donc aucune raison de rejeter les séries, et encore moins la théorie des ensembles infinis

Je sais, il suffit que la série soit absolument convergente pour ne pas avoir de problème.

Il existe une preuve qu'il existe un moyen de choisir n'importe quel élément de n'importe quel ensemble infini? Si elle existe, mon inquiétude est infondée, mais sinon ?

Ca dépend de ce que tu appelles "choisir". Traditionnellement, choisir dans un ensemble non vide n'est pas problématique : tu dis "sois". C'est quand on fait une infinité de choix que ça devient tricky

Il n'y a pas de consensus quasi-universel quant au fait qu'il devrait exister ou non une fonction qui, pour tout ensemble non vide, permet de sélectionner un élément dedans. Ce qui ne contredit pas mon paragraphe précédent.

Mais de toute façon, dans la preuve de Yann Ollivier, on s'en fout, y a pas besoin de faire des choix trop subtils, si ?

Après, c'est le genre de discussions assez délicat à mener. On ne peut pas empêcher quelqu'un d'être sceptique de tout (je ne dis pas que tu tombes dans cette attitude caricaturale). Les mathématiciens font confiance aux théories qui ont la propriété de n'avoir mené à aucun bug même quand des gens ont essayé de faire des folies ; et ils écartent les théories où des bugs ont été repérés. Ce que j'affirme, c'est que les maths dont je parle sont du côté solide de la barrière.

Mais j'aurai du mal à t'en convaincre car l'argument pour ça n'est pas tant un argument en quelques lignes que le constat historique "on taffe dedans et tout s'emboîte bien de façon remarquable". Constat qu'on peut faire à sa propre échelle si on a baigné un certain nombre d'années dans la version actuelle des maths. Mais constat difficilement transmissible.

Je définirai choisir comme suit : avoir une méthode déterministe pour, à partir d'un ensemble, trouver un de ses élément (choix qui peut se faire sans contrainte (aléatoire) ou sous contrainte)

Dans ce que tu m'as montré, le mec raisonne par l'absurde en disant "Il y a une contradiction quand je suppose que le programme a choisi un élément, donc il n'en choisi pas, donc l'élément en question n'existe pas dans cet ensemble"
Sauf que vu que l'ensemble en question est infini, peut être que son programme ne peut pas choisir en raison de la nature infinie de l'ensemble, et pas parce que le résultat existe pas, juste qu'il est "non choisissable"
Ici ce qui me pose problème, c'est "Un élément qui satisfait X condition est impossible à choisir dans cet ensemble donc il n'existe aucun élément qui satisfait X dans cet ensemble", alors que peut être qu'il existe, mais que l'on ne peut pas le choisir, parce qu'est-ce qui nous le permettrai? De prolonger ce qui est trivial quand l'ensemble est de taille finie? Et bien ça c'est pas garanti de marcher vu l'exemple de la commutativité des termes de certaines séries dans mon exemple précédent.

Je suis d'accord avec cette approche empirique des mathématiques, du coup, ça veut dire qu'autant que tu le saches, on peut choisir un élément de n'importe quel ensemble infini avec comme "preuve" que ça n'a jamais mené à une contradiction que l'on a imputé à cette "possibilité" en particulier.

J'ai du mal à croire que les choses s'emboitent quand il existe plusieurs résultats possible quand on somme les éléments de certains ensembles infinis, juste dans un ordre différent.

Le 13 avril 2025 à 22:49:04 :

Le 13 avril 2025 à 22:38:38 :

Le 13 avril 2025 à 21:47:15 :
Après, il me semble avoir lu qu'il existe un ensemble d'axiomes qui permet de pouvoir prouver "ma théorie est cohérente", mais on doit se passer de la multiplication dans l'exemple que j'ai vu (même si je ne vois pas en quoi on ne peut pas construire la multiplication à partir de l'addition)
Tu as une idée de pourquoi on est pas parti de ça?

En gros, si tu bosses sur une théorie rikiki qui ne regarde pas des phénomènes très complexes, alors on peut la comprendre. C'est le cas par exemple de la géométrie euclidienne. On peut se restreindre à ça mais on serait plus intéressé de comprendre la théorie globale qui encapsule la totalité des mathématiques. Si on pouvait tout décider dans cette théorie ou démontrer qu'elle est cohérente, ce serait stylé. Plutôt que de dire "je comprends l'addition" ou "je comprends la géométrie euclidienne", ce serait "je comprends les maths"

Eh bien Gödel dit qu'on ne peut pas faire ça, au sens suivant. Si tu prends une théorie suffisamment vaste pour pouvoir fonder les maths en son sein alors, en restant à l'intérieur de cette même théorie, tu n'arriveras pas à établir la cohérence de ta théorie

Historiquement, l'objectif de Hilbert était bien de comprendre les maths, pas l'addition. D'où le fait que l'accent ait été mis sur ce degré de généralité.

Sauf qu'il n'y a peut être pas d'unicité de "les maths", peut être qu'il existe des choses intéressantes que l'on ne peut prouver qu'en utilisant des axiomes incompatibles avec d'autres axiomes nécessaires à d'autres résultats intéressants
Du coup je me contredit un peu, mais ça voudrait dire que "les maths" ne peuvent être saisis par un seul groupe d'axiomes, mais plutôt par l'ensemble des groupes d'axiomes dont la cohérence est non réfutable

Ca y est, je commence la branlette

Tout à fait. Il y a 2-3 siècles, c'est précisément ce qu'on pouvait se dire : il y a l'Analyse et ses propres fondements, la Géométrie avec les siens, l'Arithmétique avec d'autres fondements encore. C'est il y a un peu plus d'un siècle qu'on s'est rendu compte qu'un jeu d'axiomes très simple (la théorie des ensembles) parvenait à fonder toutes les branches des maths qu'on avait rencontrées

En plus, un ensemble, ça a une tronche très basique, genre une patate. Ca fait moins peur que les espaces des géomètres ou les fonctions des analystes.

Donc en gros, t'as un jeu de craft. Tu pars des ensembles. Tu les empiles ingénieusement et au bout d'un certain temps, tu arrives à des empilements complexes, un peu comme si tu avais créé une molécule ou un organisme à partir d'atomes. Et là, tu te rends compte que ce que l'Analyse prenait pour des atomes, des objets basiques, tu peux les simuler dans ton univers en les craftant à partir d'ensembles

Et tu peux créer la géométrie ainsi. Et l'arithmétique. Et les probas.

Donc finalement, s'attend-t-on a priori à une ou des maths, j'en sais rien. Mais a posteriori, il se trouve que la team UNE est actuellement celle qui semble pertinente.

Alors oui, de nos jours, certains logiciens ou catégoriciens peuvent pinailler sur le fait que d'autres cadres sont intéressants aussi. Ils n'ont pas tort. Mais disons que si on s'intéresse aux maths pratiquées en big 2k25 par 99.99% de la commu, on a UN cadre où se déroulent les maths et basta. OK on peut s'intéresser aux 0.01%, OK on peut spéculer sur ce que seront les maths dans deux siècles. Mais si on ne va pas dans ces directions, alors la réponse est qu'il y a unité, unicité.