Je suis MAITRE de CONF en MATHS

Le 13 avril 2025 à 18:18:04 :
Tu saurais expliquer le raisonnement qu'a suivi godel pour prouver ses deux théorèmes d'incomplétude?

A la fin de cet exposé (1h15), il y a une démo non technique de l'existence d'énoncés indécidables : https://www.youtube.com/watch?v=sfHi1_qLfZ4

Le 13 avril 2025 à 18:25:01 :

Le 13 avril 2025 à 18:18:04 :
Tu saurais expliquer le raisonnement qu'a suivi godel pour prouver ses deux théorèmes d'incomplétude?

Oulah, c'est un peu long et technique.

En gros, pour le premier théorème d'incomplétude, il arrive à crafter en contournant les autoréférences un énoncé qui dit "je ne suis pas démontrable". Cela fait intervenir le fait que la théorie est assez "expressive" pour pouvoir encoder dans la théorie les énoncés mathématiques de la théorie ainsi que les questions de démonstrabilité.

Enfin bon, mon pipeau explique qu'on puisse parler d'énoncé et de démonstrabilité. Mais comment référer à soi-même ? Et là, grosso modo, c'est une astuce de type "point fixe", du type "argument diagonal de Cantor".

Ensuite, le second théorème d'incomplétude, je crois que c'est celui qui dit que la cohérence de la théorie est un énoncé lui-même indécidable. Je n'ai pas en tête comment ça fonctionne.

Je me suis toujours demandé en quoi c'est permis d'avoir un énoncé qui se réfère à lui même
Et il existe dans ces théorie une distinction entre des énoncés valables et des énoncés non valables?
On peut fabriquer des énoncés qui n'ont aucun sens, dire qu'ils sont vrais ou qu'ils sont faux n'a aucun sens, comment prouve t'il que son énoncé qui se réfère à lui même n'est pas un de ceux là?

Le 13 avril 2025 à 18:29:32 :

Le 13 avril 2025 à 18:18:04 :
Tu saurais expliquer le raisonnement qu'a suivi godel pour prouver ses deux théorèmes d'incomplétude?

A la fin de cet exposé (1h15), il y a une démo non technique de l'existence d'énoncés indécidables : https://www.youtube.com/watch?v=sfHi1_qLfZ4

Merci bien

C'est pas vraiment une question de maths mais as-tu un avis sur l'avenir de l'IA et le calcul quantique ?

On entend tout et n'importe quoi sur le sujet

Le 13 avril 2025 à 18:34:36 :
C'est pas vraiment une question de maths mais as-tu un avis sur l'avenir de l'IA et le calcul quantique ?

On entend tout et n'importe quoi sur le sujet

j'avoue, j'ai entendu dire qu'un des objectifs de l'ia serait qu'elle puisse raisonner d'elle même. A ce moment la ca risque d'impacter le métier de chercheur notamment recherche théorique comme les maths non ?

Le 13 avril 2025 à 18:29:07 :
Comment conçois-tu la nature des objets mathématiques ? Je veux dire par-là, est-ce que tu considères que ce ne sont que des constructions de l'esprit humain ou considères-tu que ces objets existent, indépendamment qu'ils soient pensés par les hommes ou non, dans une sorte de monde des idées, et que l'homme par sa réflexion, ne fait que découvrir petit à petit ce monde des idées ?

Ma vision actuelle est que cette question est un mirage et qu'on s'en fout pas mal.

Les seules choses auxquelles on a vraiment accès sont des structures mentales dans nos cerveaux (idées ou sensations). On peut dès lors s'amuser à être très sceptique envers l'existence des nombres mais aussi envers celle des chaises. Ca ne nous emmène pas très loin de faire ça.

Ce qui est intéressant, c'est plutôt le point suivant. Je forge la définition d'un objet mathématique et je pose une question à laquelle je n'ai pas la réponse. J'envoie par mail la définition et la question à un collègue puis on n'interagit pas pendant un mois. Imaginons maintenant qu'il résolve la question en se relisant attentivement et que moi aussi : eh bien on tombe sur la même réponse. Il y a donc dans les maths une part qui ne dépend pas de nous.

On pourrait arguer que cette réponse est commune car elle se déduit de règles du jeu commune et que ces règles sont arbitraires. Mais ce n'est pas rendre justice à ces règles du jeu. Déjà, même sans règles du jeu, on tomberait d'accord si on cherche de bonne foi. Et par ailleurs, il se trouve que toutes les conclusions qu'on peut atteindre par ces règles du jeu peuvent être mise à profit pour créer des objets ou résoudre des problèmes physiques avec succès : donc elles trouvent un écho validant dans la réalité.

Bref, j'ai envie de dire que, à toutes fins utiles, autant se comporter comme si les objets mathématiques existaient et que, de même qu'on décide commodément de donner un nom à tel amas d'atomes mobile et de l'appeler "Médor" ou "Célestin", bah on découpe ce monde des idées commodément à l'aide de nos définitions. Qui ont une part d'arbitraire mais sont aussi dictés par la commodité, qui ne relève pas du seul décret (ce serait pas très pertinent de nommer seulement une griffe et quatre dents "Médor").

Ensuite, si le but n'est pas seulement d'avoir une part de non arbitraire mais d'être intégralement non arbitraire, on peut rejeter les objets mathématiques mais pour moi, à ce titre, on peut aussi rejeter les objets communs.

"Exister", c'est "être hors de". Et, en effet, la validité d'un énoncé mathématique n'est pas dans le locuteur, n'est pas de son ressort. Il a le choix de l'énoncé qu'il veut regarder et de comment il souhaite le formuler. Bref, on choisit comment on nomme/saisit un énoncé mathématique. Mais une fois la bestiole capturée, elle est vraie ou fausse indépendamment de nos désirs. Et on peut s'en rendre compte par la démonstration ainsi que par l'écho dans la réalité.

Le 13 avril 2025 à 18:30:45 :

Le 13 avril 2025 à 18:25:01 :

Le 13 avril 2025 à 18:18:04 :
Tu saurais expliquer le raisonnement qu'a suivi godel pour prouver ses deux théorèmes d'incomplétude?

Oulah, c'est un peu long et technique.

En gros, pour le premier théorème d'incomplétude, il arrive à crafter en contournant les autoréférences un énoncé qui dit "je ne suis pas démontrable". Cela fait intervenir le fait que la théorie est assez "expressive" pour pouvoir encoder dans la théorie les énoncés mathématiques de la théorie ainsi que les questions de démonstrabilité.

Enfin bon, mon pipeau explique qu'on puisse parler d'énoncé et de démonstrabilité. Mais comment référer à soi-même ? Et là, grosso modo, c'est une astuce de type "point fixe", du type "argument diagonal de Cantor".

Ensuite, le second théorème d'incomplétude, je crois que c'est celui qui dit que la cohérence de la théorie est un énoncé lui-même indécidable. Je n'ai pas en tête comment ça fonctionne.

Je me suis toujours demandé en quoi c'est permis d'avoir un énoncé qui se réfère à lui même
Et il existe dans ces théorie une distinction entre des énoncés valables et des énoncés non valables?
On peut fabriquer des énoncés qui n'ont aucun sens, dire qu'ils sont vrais ou qu'ils sont faux n'a aucun sens, comment prouve t'il que son énoncé qui se réfère à lui même n'est pas un de ceux là?

En gros, on s'est rendu compte assez vite que si on autorisait tout ce qui avait une tronche grammaticalement correcte, on tombait sur des problèmes. Genre "cette phrase est fausse" ne peut ni être vrai ni être faux.

Sauf qu'en maths, on ne peut pas vraiment patcher à l'arrache en disant "euh, évite de marcher par là si tu t'apprêtes à déclencher un bug". Donc ce qu'on fait, c'est plutôt qu'on dit "tu peux utiliser toutes ces règles-ci comme tu veux pour former des énoncés". Sauf que les règles, en gros, c'est "tu prends des énoncés préalablement construits puis tu les combines".

Donc on voit mal comment on arriverait à former une phrase du genre "Cette phrase est fausse", vu que "cette phrase" n'est pas préalablement construite mais un truc en cours de construction. Et de fait, on n'a jamais réussi à reproduire des bugs du type "cette phrase est fausse" depuis

Le tour de force de Gödel, c'est de parvenir à réaliser une autoréférence de façon indirecte, en respectant les règles de construction. La phrase est construite étape par étape comme il faut mais, à la fin, quand on déroule ce qu'elle dit, ça revient à "je ne suis pas démontrable".

S'il avait réussit à encoder "je ne suis pas vraie", alors il aurait réduit à néant la v2 des maths. Mais il n'a pas réussi ni quiconque après lui. Il a juste formulé "je ne suis pas démontrable", établissant alors que, dans un cadre mathématique suffisamment riche étant donné, certains énoncés sont trop complexes pour que ce cadre parvienne à les trancher

Bravo en tout cas.

Bonne continuation.

je vais redoubler ma L3 khey je suis complètement détruit

j'aimerais redoubler dans un endroit qui me permettre de faire un erasmus pour pas complètement perdre l'année mais ça m'étonnerait que je puisse en organiser un aussi vite

Le 13 avril 2025 à 18:53:01 :
ça pue le chatgpt ici
preuve ou fake + ddb illico presto

T'es un nioufag si tu connais pas elbougnador

Le 13 avril 2025 à 18:50:08 :

Le 13 avril 2025 à 18:30:45 :

Le 13 avril 2025 à 18:25:01 :

Le 13 avril 2025 à 18:18:04 :
Tu saurais expliquer le raisonnement qu'a suivi godel pour prouver ses deux théorèmes d'incomplétude?

Oulah, c'est un peu long et technique.

En gros, pour le premier théorème d'incomplétude, il arrive à crafter en contournant les autoréférences un énoncé qui dit "je ne suis pas démontrable". Cela fait intervenir le fait que la théorie est assez "expressive" pour pouvoir encoder dans la théorie les énoncés mathématiques de la théorie ainsi que les questions de démonstrabilité.

Enfin bon, mon pipeau explique qu'on puisse parler d'énoncé et de démonstrabilité. Mais comment référer à soi-même ? Et là, grosso modo, c'est une astuce de type "point fixe", du type "argument diagonal de Cantor".

Ensuite, le second théorème d'incomplétude, je crois que c'est celui qui dit que la cohérence de la théorie est un énoncé lui-même indécidable. Je n'ai pas en tête comment ça fonctionne.

Je me suis toujours demandé en quoi c'est permis d'avoir un énoncé qui se réfère à lui même
Et il existe dans ces théorie une distinction entre des énoncés valables et des énoncés non valables?
On peut fabriquer des énoncés qui n'ont aucun sens, dire qu'ils sont vrais ou qu'ils sont faux n'a aucun sens, comment prouve t'il que son énoncé qui se réfère à lui même n'est pas un de ceux là?

En gros, on s'est rendu compte assez vite que si on autorisait tout ce qui avait une tronche grammaticalement correcte, on tombait sur des problèmes. Genre "cette phrase est fausse" ne peut ni être vrai ni être faux.

Sauf qu'en maths, on ne peut pas vraiment patcher à l'arrache en disant "euh, évite de marcher par là si tu t'apprêtes à déclencher un bug". Donc ce qu'on fait, c'est plutôt qu'on dit "tu peux utiliser toutes ces règles-ci comme tu veux pour former des énoncés". Sauf que les règles, en gros, c'est "tu prends des énoncés préalablement construits puis tu les combines".

Donc on voit mal comment on arriverait à former une phrase du genre "Cette phrase est fausse", vu que "cette phrase" n'est pas préalablement construite mais un truc en cours de construction. Et de fait, on n'a jamais réussi à reproduire des bugs du type "cette phrase est fausse" depuis

Le tour de force de Gödel, c'est de parvenir à réaliser une autoréférence de façon indirecte, en respectant les règles de construction. La phrase est construite étape par étape comme il faut mais, à la fin, quand on déroule ce qu'elle dit, ça revient à "je ne suis pas démontrable".

S'il avait réussit à encoder "je ne suis pas vraie", alors il aurait réduit à néant la v2 des maths. Mais il n'a pas réussi ni quiconque après lui. Il a juste formulé "je ne suis pas démontrable", établissant alors que, dans un cadre mathématique suffisamment riche étant donné, certains énoncés sont trop complexes pour que ce cadre parvienne à les trancher

Merci, très claire l'explication
On dirait une forme "d'affirmation nulle" en fait, parce qu'elle n'affirme rien sur autre chose qu'elle même, il existe des versions de ce qu'a fait godel, mais qui affirment quelque chose d'utilisable ailleurs dans une démonstration? Parce que j'ai l'impression qu'à part travailler sur ce genre d'objets eux mêmes, ça ne peut pas servir à autre chose pour le coup
Je sais pas si tu m'as compris.

Je suis en train de regarder la preuve que tu m'as montré, mais j'ai du mal avec les preuves qui font intervenir des objets infinis depuis que j'ai appris que deux séries pouvaient sommer exactement les mêmes éléments, mais converger vers des valeurs différentes, ça veut dire qu'une propriété de base de l'addition, la commutativité, a été perdue lors de l'opération.

Si on perd la commutativité sur des additions infinies, pourquoi ne pourrait-on pas perdre la capacité à trouver un élément dans un ensemble infini?