Quelqu'un fort en maths pour m'aider ?

Le 20 janvier 2023 à 02:42:37 :

Le 20 janvier 2023 à 02:40:12 :

Le 20 janvier 2023 à 02:38:10 :
Donne moi ton sujet entier et je pense qu’il te répondra correctement

On veut déterminer les entiers naturels n tels que n = (d_1)² + (d_2)² + (d_3)² + (d_4)², où d_1, d_2, d_3 et d_4 sont les quatre plus petits diviseurs positifs de n avec d_1 < d_2 < d_3 < d_4.
On suppose désormais que n est un entier naturel solution du problème posé.
Déterminer d_1, d_2, d_3 et exprimer d_4 en fonction de d_3.

Il est possible de déterminer d_1, d_2, d_3 et d_4 en utilisant la factorisation de n.
On sait que n = (d_1)² + (d_2)² + (d_3)² + (d_4)², donc n est la somme de quatre carrés parfaits.
Cela signifie que n est un nombre de la forme n = 4^a(8b + 7) pour des entiers naturels a et b.
Ainsi, d_1 = 2^a, d_2 = 2^a * 3, d_3 = 2^a * (3^2) et d_4 = 2^a * (3^3) = 2^a * 27 * 3.

...

Ayaa je lui ai dit que c’est faux, que D_1 = 1

Il me répond :

Je suis désolé, vous avez raison. La condition d_1 < d_2 < d_3 < d_4 indique que d_1 doit être le plus petit diviseur positif de n. Comme 1 est toujours un diviseur de n, d_1 = 1.
Donc, pour tout entier naturel n solution du problème posé, d_1 = 1, d_2 = d_1 * k, d_3 = d_2 * k et d_4 = d_3 * k. On ne peut pas déterminer les valeurs de k pour un n donné sans connaître la factorisation de n.

Le 20 janvier 2023 à 02:45:55 :
Copie colle ta question à l'IA
Il fera ton exo en un instant

Bah c’est exactement ce que j’ai fait en fait..

L’op, j’ai dit « je comprends pas comment tu as fait »
Il me répond cela :

Je suis désolé si j'ai causé de la confusion. Ce que je veux dire est que puisque n est la somme de quatre carrés parfaits, il est un produit de facteurs de la forme 2^a * 3^b * 5^c * ... (où a, b, c, ... sont des entiers naturels) et puisque d_1 est le plus petit diviseur de n, alors d_1 = 2^0 * 3^0 * 5^0 * ... = 1, d_2 = 2^a * 3^0 * 5^0 * ... = 2^a, d_3 = 2^a * 3^b * 5^0 * ... = 2^a * 3^b, et d_4 = 2^a * 3^b * 5^c * ... = 2^a * 3^b * 5^c * ...
On ne peut pas déterminer les valeurs de a, b, c, ... pour un n donné sans connaître la factorisation de n.
J'espère que cela aidera à clarifier les choses.

Le 20 janvier 2023 à 02:45:55 :
Copie colle ta question à l'IA
Il fera ton exo en un instant

On est deux à essayer de le faire, et l'IA bug complètement sur l'exercice...

Le 20 janvier 2023 à 02:45:20 :
Ayaa je lui ai dit que c’est faux, que D_1 = 1

Il me répond :

Je suis désolé, vous avez raison. La condition d_1 < d_2 < d_3 < d_4 indique que d_1 doit être le plus petit diviseur positif de n. Comme 1 est toujours un diviseur de n, d_1 = 1.
Donc, pour tout entier naturel n solution du problème posé, d_1 = 1, d_2 = d_1 * k, d_3 = d_2 * k et d_4 = d_3 * k. On ne peut pas déterminer les valeurs de k pour un n donné sans connaître la factorisation de n.

Supposons n pair, d_2= k, donc k=2. Soit d_3=4 et d_4=8, or d_3 ou d_4 est forcément impair, de sorte que n = 1 + (2k+1) + 2k + 2k. Supposons n impair, k=2 et n = 1 + (2k+1) + (2k+1) + 2k, donc d_3 ou d_4 est forcément impair, et ce dans tous les cas. Le raisonnement de l'ia est donc faux.

Le 20 janvier 2023 à 02:53:21 :
T’es en quelle année ?

Je suis en terminal, en maths expertes.

Le 20 janvier 2023 à 02:56:28 :
C’est mal formulé ton exercice t’as fait une erreur en copiant l’exercice.
Mais j’imagine d1=1 et d4=n, ainsi que n=d1*d2

d4 =/= n. Et d1*d2=d2=/=n.

Le 20 janvier 2023 à 02:58:03 :

Le 20 janvier 2023 à 02:56:28 :
C’est mal formulé ton exercice t’as fait une erreur en copiant l’exercice.
Mais j’imagine d1=1 et d4=n, ainsi que n=d1*d2

d4 =/= n. Et d1*d2=d2=/=n.

Ouais j’ai mal lu désolé
Suppose n impair, alors les Di sont impairs donc Di^2=1 mod 4 et alors 4 divise n, absurde.
Donc n est pair, d’où D2=2.
Je réfléchis pour D3

Le 20 janvier 2023 à 03:20:47 :

Le 20 janvier 2023 à 02:58:03 :

Le 20 janvier 2023 à 02:56:28 :
C’est mal formulé ton exercice t’as fait une erreur en copiant l’exercice.
Mais j’imagine d1=1 et d4=n, ainsi que n=d1*d2

d4 =/= n. Et d1*d2=d2=/=n.

Ouais j’ai mal lu désolé
Suppose n impair, alors les Di sont impairs donc Di^2=1 mod 4 et alors 4 divise n, absurde.
Donc n est pair, d’où D2=2.
Je réfléchis pour D3

Comme n=d3^2+d4^2+5 et que n est pair, d3 et d4 sont de parité différente. En particulier n= 2 mod 4. Ainsi d3 n’est pas égal à 4 mais à p, avec p>2 premier. Nécessairement comme d4 est pair puisque d3 est impair, d4=2p. Alors n=5p^2+5. D’où p divise 5, ie p=5 et n=130.
On vérifie réciproquement que dans ce cas d1=1, d2=2, d3=5, d4=10 et somme des di^2=130

Le 20 janvier 2023 à 02:02:15 :
Soit, pour n appartenant à N, n = (d_1)² + (d_2)² + (d_3)² + (d_4)², où d_1, d_2, d_3 et d_4 sont les quatre plus petits diviseurs positifs de n avec d_1 < d_2 < d_3 < d_4.
Je dois déterminer d_1, d_2, d_3 et exprimer d_4 en fonction de d_3.
d_1 = 1, c'est évident, mais je n'arrive pas à trouver les autres.
Une aide les clés ?

Facile

• d1 = 1 forcément.

• Maintenant, n = d2d3d4*N et

d2d3d4*N = 1 + d2² + d3² + d4², donc d2 >= 2 doit diviser d3² + d4² + 1.

On suppose d2 = 2. Comme un carré est congru à 0 ou 1 mod 2, d3 et d4 de parité contraire => d3² + d4² + 1 = 0 mod 2, donc d2 = 2 est plausible, sous réserve que cette condition soit vérifiée, voir plus bas.

• 2N*d3d4 = 5 + d3² + d4²

Si d3 = 3, alors 6 | n et d4² = 2[6]. Or, un carré n'est jamais congru à 2 mod 6, donc ce cas est impossible
Si d3 = 4, alors 8 | n et d4² = 3 [8]. Or un carré n'est jamais congru à 3 mod 8, donc ce cas est impossible
Si d3 = 5, alors 10 | n et d4² = 0 [10]. Ceci implique d4 multiple de 10. Comme d4 > 0, alors d4 >= 10.

On vérifie alors que l'entier 1² + 2² + 5² + 10² est bien divisible par 1,2,5 et 10.

Le 20 janvier 2023 à 02:02:15 :
Soit, pour n appartenant à N, n = (d_1)² + (d_2)² + (d_3)² + (d_4)², où d_1, d_2, d_3 et d_4 sont les quatre plus petits diviseurs positifs de n avec d_1 < d_2 < d_3 < d_4.
Je dois déterminer d_1, d_2, d_3 et exprimer d_4 en fonction de d_3.
d_1 = 1, c'est évident, mais je n'arrive pas à trouver les autres.
Une aide les clés ?

Facile

• d1 = 1 forcément.
• n est pair. En effet, si ce n'était pas le cas, alors n = 1 [2]. donc d2² + d3² + d4² = 0 [2]. Comme un carré est congru à 0 ou 1 mod 2, d2, d3 et d4 ne peuvent pas être simultanément impairs, donc au moins un est pair, ce qui contredit le fait que n est impair

Donc d2 = 2

• Maintenant, n = 2d3d4*N = 5 + d3² + d4²

Si d3 = 3, alors 6 | n et d4² = 2[6]. Or, un carré n'est jamais congru à 2 mod 6, donc ce cas est impossible
Si d3 = 4, alors 8 | n et d4² = 3 [8]. Or un carré n'est jamais congru à 3 mod 8, donc ce cas est impossible
Si d3 = 5, alors 10 | n et d4² = 0 [10]. Ceci implique d4 multiple de 10. Comme d4 > 0, alors d4 = 10,

On vérifie alors que l'entier 1² + 2² + 5² + 10² = 130 est bien divisible par 1,2,5 et 10.