[MATHS] Question d'analyse (intégrale à paramètre

Le 11 décembre 2025 à 21:36:45 :
up

Je peux pas beaucoup t'aider j'ai de vagues souvenirs clé mais je me souviens qu'il y avait la convergence dominée et deux théorèmes, théorème de dérivabilité sous le signe intégral et continuité sous le signe intégral pour les intégrales à paramètres perso j'utilisais ces trucs et ça marchait bien

Après je ne sais pas du tout si ces trucs s'appliquent à ton exemple, il faudrait quelqu'un de plus qualifié pour répondre !

Oui, on peut parfaitement utiliser les outils de théorie de la mesure (dominated convergence theorem, Lebesgue integrals, etc.).
C’est même plus élégant et plus général, et rend les arguments de continuité/dérivabilité beaucoup plus propres.

Mais dans ce type d’exercice de prépa MP, on attend en principe une justification à la main avec :

- majorations classiques
- continuité sous l’intégrale démontrée via théorème de convergence dominée en version “prépa” (donc dominée + convergence simple + justification élémentaire)
- dérivation sous l’intégrale via la règle de Leibniz + domination

Bref, la théorie de la mesure complète n’est pas nécessaire, mais les idées du TCD sont exactement ce que tu utilises, même si tu ne le nommes pas.

Le 11 décembre 2025 à 21:47:24 :
Je peux pas beaucoup t'aider j'ai de vagues souvenirs clé mais je me souviens qu'il y avait la convergence dominée et deux théorèmes, théorème de dérivabilité sous le signe intégral et continuité sous le signe intégral pour les intégrales à paramètres perso j'utilisais ces trucs et ça marchait bien

Après je ne sais pas du tout si ces trucs s'appliquent à ton exemple, il faudrait quelqu'un de plus qualifié pour répondre !

Merci khey !
en effet theoreme de continuité et dérivabilité sous le signe intégrale marchent avec certaines hypothèses pour cette fonction

Le 11 décembre 2025 à 21:52:23 :
Oui, on peut parfaitement utiliser les outils de théorie de la mesure (dominated convergence theorem, Lebesgue integrals, etc.).
C’est même plus élégant et plus général, et rend les arguments de continuité/dérivabilité beaucoup plus propres.

Mais dans ce type d’exercice de prépa MP, on attend en principe une justification à la main avec :

- majorations classiques
- continuité sous l’intégrale démontrée via théorème de convergence dominée en version “prépa” (donc dominée + convergence simple + justification élémentaire)
- dérivation sous l’intégrale via la règle de Leibniz + domination

Bref, la théorie de la mesure complète n’est pas nécessaire, mais les idées du TCD sont exactement ce que tu utilises, même si tu ne le nommes pas.

c est chatgpt qui répond la, je veux un humain matheux
mais je veux pas une réponses "type classe prépa mp", juste la maniere la plus rigoureuse et élégante de le faire au moyen si possible des outils de theorie de la mesure

Le 11 décembre 2025 à 21:54:50 :
Je vois pas pourquoi tu veux faire de la théorie de la mesure ici, tu as une intégrale à paramètre très simple (et classique) dominée par 1/1+t² qui est intégrable (car équivalent à 1/t² qui converge par le critère de comparaison de Riemann)

Je sais bien khey, c'est juste une question de curiosté, y a pas d'enjeux

Le 11 décembre 2025 à 21:56:18 :
Même si tu te places dans un cadre mesure/Lebesgue ça ne change rien au problème, tu dois quand même dominer pour pouvoir dire que c'est intégrable en l'inf (et elle est continue en 0)

et le theoreme de convergence dominée peut pas s'appliquer ? avec la caractérsation séquentielle de la continuité pour introduire une suite de fonction pour justifier l'interversion lim/intégrale

Le 11 décembre 2025 à 22:00:19 :
C un exo qui permet de montrer la limite du théorème de dérivation ça sort du cassini

pas du tout khey c'est un exo classique d'étude fonction de classe prépa

Le 11 décembre 2025 à 22:01:47 :

Le 11 décembre 2025 à 22:00:19 :
C un exo qui permet de montrer la limite du théorème de dérivation ça sort du cassini

pas du tout khey c'est un exo classique d'étude fonction de classe prépa

Je veux dire si t appliques le théorème sur cet intégrale tel quel tu pourras pas satisfaire l hypothèse de domination
Néanmoins en faisant une IPP tu pourras cette fois ci l appliquer
Ça démontres juste que le théorème n est pas une CNS(« à moitié »)
Fin faut voir que puisque cos’’ =-cos y aura de l equa diff

Le 11 décembre 2025 à 21:52:23 :
Oui, on peut parfaitement utiliser les outils de théorie de la mesure (dominated convergence theorem, Lebesgue integrals, etc.).
C’est même plus élégant et plus général, et rend les arguments de continuité/dérivabilité beaucoup plus propres.

Mais dans ce type d’exercice de prépa MP, on attend en principe une justification à la main avec :

- majorations classiques
- continuité sous l’intégrale démontrée via théorème de convergence dominée en version “prépa” (donc dominée + convergence simple + justification élémentaire)
- dérivation sous l’intégrale via la règle de Leibniz + domination

Bref, la théorie de la mesure complète n’est pas nécessaire, mais les idées du TCD sont exactement ce que tu utilises, même si tu ne le nommes pas.

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