[MATH] Question TRIVIALE svp

Je cherche l'ensemble des couples de nombres réels (a,b) tels que a<1, b<1 et tels que pour tout couple de réels postifs (m,n), on ait:
max(m+bn ; am+n) >= 0.

C'est quoi cet ensemble svp ?

Non c'est pas pour un DM ou je ne sais quoi, j'en ai besoin pour un projet perso

En gros je voudrais pouvoir exprimer b en fonction de a, par exemple (exemple totalement au pif juste pour montrer le format de réponse que je cherche) :

" Si 0.5<a<1 alors toute valeur b<1 convient. Si 0<a=<0.5 alors tout b vérifiant 1>b> -a/2 convient. Si a=<0, aucune valeur de b ne convient"

Le 15 janvier 2025 à 02:49:09 :
https://www.chatgpt.com/

Déjà tenté, il répond de la merde

[02:55:00] <RoiLoutre15>
Je crois que c'est juste a>=0 ou b>=0 si j'ai bien compris

This, tu veux m+bn>=0 ou am+n>=0 pour tous m,n>=0 i.e. b>=min(m/n)=0 ou a>=min(n/m)=0

Mais par contre non en fait, ça marche pas
Prenons a=-1 et b=-1.

alors max(m+bn,am+n)=max(m-n,n-m) >=0, pour tout couple (m,n). Pourtant ni a ni b ne sont positifs, non ?

Le 15 janvier 2025 à 03:29:22 :
Peut-être ceci? a dans [-n/m, 1[ et b dans [-m/n, 1[

Bah, la réponse ne peut pas dépendre de n et m puisque je veux quelque chose qui soit vrai pour tout n et pour tout m

Le 15 janvier 2025 à 03:30:08 :

Le 15 janvier 2025 à 03:29:22 :
Peut-être ceci? a dans [-n/m, 1[ et b dans [-m/n, 1[

Bah, la réponse ne peut pas dépendre de n et m puisque je veux quelque chose qui soit vrai pour tout n et pour tout m

Bah c'est vrai quelque soit m, n justement

Le 15 janvier 2025 à 03:31:22 :

Le 15 janvier 2025 à 03:30:08 :

Le 15 janvier 2025 à 03:29:22 :
Peut-être ceci? a dans [-n/m, 1[ et b dans [-m/n, 1[

Bah, la réponse ne peut pas dépendre de n et m puisque je veux quelque chose qui soit vrai pour tout n et pour tout m

Bah c'est vrai quelque soit m, n justement

Je ne comprends pas ta réponse.

Par exemple si je prends a=0.5, quelles valeurs de b conviendraient ?

Le 15 janvier 2025 à 03:33:52 :
Si tu veux, ton problème a moins de contraintes, donc a et b ne peuvent que dépendre de m et n. Le choix de a et B est conditionné par les valeurs de m et n choisies.

Mais non justement le problème ne peut PAS dépendre de m et n puisque je demande un truc qui soit vrai "pour tout couple (m,n)". Les valeurs de m et n ne sont pas fixées.

C'est vrai c'est pas bon

Peut être que c'est juste a>=0 ou b>=0 ou a=b

Ok prenons ton exemple. Pour a = 1/2, on veut max(m+bn, 1/2m+n)>=0 (1)
1/2m+n est positif
Si 1/2m+n est le max alors m+bn<1/2m+n
Ce qui veut dire que b<(n-m/2)/n=1-m/(2n)
Si le terme de droite est < 1, alors toute valeur de B fonctionne

Si 1/2m+n est le min, b>1-m/(2n)
Dans ce cas, B doit être entre le terme de droite et 1

Peu importe le cas, b est fonction de m et n
On ne peut pas minorer ou majorer également (on sait que b<1)

Le 15 janvier 2025 à 03:48:23 :
Ok prenons ton exemple. Pour a = 1/2, on veut max(m+bn, 1/2m+n)>=0 (1)
1/2m+n est positif
Si 1/2m+n est le max alors m+bn<1/2m+n
Ce qui veut dire que b<(n-m/2)/n=1-m/(2n)
Si le terme de droite est < 1, alors toute valeur de B fonctionne

Si 1/2m+n est le min, b>1-m/(2n)
Dans ce cas, B doit être entre le terme de droite et 1

Peu importe le cas, b est fonction de m et n
On ne peut pas minorer ou majorer également (on sait que b<1)

Tu le dis toi même:
Pour a = 1/2, on veut max(m+bn, 1/2m+n)>=0
1/2m+n est positif.
Bah du coup c'est fini, on sait que le max est toujours positif puisque 1/2m+n est toujours positif. Tu vois bien que je peux répondre cash "toute valeur de b convient puisque quoi qu'il arrive, 1/2m+n sera positif". Tu vois bien que m et n n'interviennent pas du tout dans cette affirmation, ce qui encore une fois est normal puisque je n'ai même pas attribué de valeur à m ni à n dans l'énoncé !

Le 15 janvier 2025 à 02:47:42 :
Je cherche l'ensemble des couples de nombres réels (a,b) tels que a<1, b<1 et tels que pour tout couple de réels postifs (m,n), on ait:
max(m+bn ; am+n) >= 0.

C'est quoi cet ensemble svp ?

Non c'est pas pour un DM ou je ne sais quoi, j'en ai besoin pour un projet perso

En gros je voudrais pouvoir exprimer b en fonction de a, par exemple (exemple totalement au pif juste pour montrer le format de réponse que je cherche) :

" Si 0.5<a<1 alors toute valeur b<1 convient. Si 0<a=<0.5 alors tout b vérifiant 1>b> -a/2 convient. Si a=<0, aucune valeur de b ne convient"

Mais quand tu dis qu'aucune valeur de B ne convient, qu'est ce que tu entends par là ? Parce que l'inequation rest vérifiée

Le 15 janvier 2025 à 03:55:28 :

Le 15 janvier 2025 à 02:47:42 :
Je cherche l'ensemble des couples de nombres réels (a,b) tels que a<1, b<1 et tels que pour tout couple de réels postifs (m,n), on ait:
max(m+bn ; am+n) >= 0.

C'est quoi cet ensemble svp ?

Non c'est pas pour un DM ou je ne sais quoi, j'en ai besoin pour un projet perso

En gros je voudrais pouvoir exprimer b en fonction de a, par exemple (exemple totalement au pif juste pour montrer le format de réponse que je cherche) :

" Si 0.5<a<1 alors toute valeur b<1 convient. Si 0<a=<0.5 alors tout b vérifiant 1>b> -a/2 convient. Si a=<0, aucune valeur de b ne convient"

Mais quand tu dis qu'aucune valeur de B ne convient, qu'est ce que tu entends par là ? Parce que l'inequation rest vérifiée

Khey je ne comprends pas ta question.
T'as fait des études en maths ?