[Maths] Petite question sur les développements limités

Salut à tous, juste un point sur les DL. Lorsqu'une fonction f est dérivable en un réel a, elle admet un développement limité (DL) à l'ordre 1 de la forme : f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + e(x-a)

On montre ça comme suit : Puisque f est dérivable, on a que pour tout réel e > 0, il existe un n tel que pour tout |x-a| < n le terme | [f(x)-f(a)/(x-a)] - f'(a) | < e. Ca vient de la définition de la limite d'une fonction en un point (ici a) en l'occurrence la fonction f(x) - f(a) / (x-a) qui a pour limite f'(a)

De là on écrit : f(a) + f'(a)(x-a) - e(x-a) < f(x) < f(a) + f'(a)(x-a) e(x-a)
Ca revient donc à dire que f(x) = f(a) + (x-a)f'(a) + s(x-a) où s se ballade entre -e et e.

Mais parfois je lis des définition du DL où le s ou le e dépendent de x et on dit alors que s(x) et e(x) tendent vers 0 quand x tend vers a ?? Pourquoi ça

Quelque chose m'échappe ? Merci d 'avance

Le 03 juin 2024 à 14:30:59 :
Je me rappelle plus de ça, mais dans le principe je ne vois pas le problème.
C'est juste pas les mêmes s et e. En gros ce serait s2(x) = s1(x-a).

non mais ok mais quelquefois dans les définitions du DL, c'est e(x) (x-a) et je ne comprends pas pq ce epsilon dépend de x

Le 03 juin 2024 à 14:36:44 :

Le 03 juin 2024 à 14:30:59 :
Je me rappelle plus de ça, mais dans le principe je ne vois pas le problème.
C'est juste pas les mêmes s et e. En gros ce serait s2(x) = s1(x-a).

non mais ok mais quelquefois dans les définitions du DL, c'est e(x) (x-a) et je ne comprends pas pq ce epsilon dépend de x

Donne un exemple précis, mais en gros e(x) c'est toujours une quantité négligeable devant x en a.

Le 03 juin 2024 à 14:41:37 Rapasteque a écrit :

Le 03 juin 2024 à 14:36:44 :

Le 03 juin 2024 à 14:30:59 :
Je me rappelle plus de ça, mais dans le principe je ne vois pas le problème.
C'est juste pas les mêmes s et e. En gros ce serait s2(x) = s1(x-a).

non mais ok mais quelquefois dans les définitions du DL, c'est e(x) (x-a) et je ne comprends pas pq ce epsilon dépend de x

Donne un exemple précis, mais en gros e(x) c'est toujours une quantité négligeable devant x en a.

par exemple ici --> https://www.imo.universite-paris-saclay.fr/~daniel.perrin/CAPES/analyse/fonctions/Taylor-Young.pdf

Ca depend de x

Le 03 juin 2024 à 14:59:56 ahlesgateaux a écrit :
En gros c'est une notation pour "fonction qui tend vers 0 quand x tend vers a"
Apres que tu notes ça e(x) ou e(x-a) ca change pas grand chose. Dans la 2e notation ce qui est bien c'est qu'on voit apparaitre a et que ca rappelle que la limite se fait en a.

d'accord mais quand tu regardes ma petite démo dans mon premier post c'est un fois, c'est e fois (x-a) on est d'accord ?

Le 03 juin 2024 à 15:06:19 ahlesgateaux a écrit :
Ce n'est pas e * (x-a) mais e(x) * (x-a) (ou deuxieme notation e(x-a) * (x-a) )

c'est bien ce que je lis dans divers trucs, pourquoi e dépend de x (ou de x-a) qu'est ce qui va pas dans ma démo en haut (1er post). Si on suit le calcul on aboutit à e*(x-a) c'est pour ça que je ne comprends pas

Ce que tu écris est probablement juste mais ce n'est pas un DL

La démo :

Je pose
s(x)= (f(x)-f(a))/(x-a) - f'(a)

On a s(x) qui tend vers 0 quand x tend vers a
Donc f(x)=f(a)+f'(a)(x-a) + s(x)(x-a) avec s qui tend vers 0 en a.

Le 03 juin 2024 à 15:10:01 ahlesgateaux a écrit :
Ce que tu écris est probablement juste mais ce n'est pas un DL

La démo :

Je pose
s(x)= (f(x)-f(a))/(x-a) - f'(a)

On a s(x) qui tend vers 0 quand x tend vers a
Donc f(x)=f(a)+f'(a)(x-a) + s(x)(x-a) avec s qui tend vers 0 en a.

ah bah oui comme ça c'est beaucoup plus clair, faut d'abord poser le s merci bcp, mais du coup je ne comprends pas pq ça ne fonctionne pas comme j'ai écrit

Trop chiant à rédiger. Pour un x donné à chaque fois que tu fixes e, tu as une constante s différente pour ce x.

Il faudrait prendre e = 1/n et faire du découpage bref affreux

ah mais ok quand on y réfléchit, si on décortique (on prend un peu à l'envers donc) le DL ça revient à écrire la chose suivante : f(x) = f(a) + f(x) - f(a) [trivial]
Puis f(x) = f(a) + (x-a) (f(x) - f(a)) /(x-a) - f'(a)(x-a) + f'(a)(x-a) [toujours juste, je fais qu'ajouter 0 et multiplier par 1]
c'est à dire f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + (x-a) [ f(x) - f(a)/(x-a) - f'(a)] et le truc entre [ ] c'est s(x)

ok