[MATHS] Différentielle d'une fonction homogène

Salut.

A priori, la question 1), j'ai juste écrit, comme f est différentiable, d'une part on a

f(x+tx) = f(x)+D_x(tx)+o(||tx||)
= f(x)+tD_x(tx)+o||tx||) par linéarité de la différentielle
d'autre part on a

f(x+tx)=f((1+t)x)
= (1+t)^a*f(x) par a-homogénéité de f
=(1+ta+o(t))*f(x) DL de (1+t)^a
=f(x)+taf(x)+o(t)*f(x)

par unicité de la différentielle, ta*f(x)=tD_xf(x) càd af(x)=D_xf(x) car t différent de 0. Bon voilà.

Mais pour la b)1), j'vois pas comment montrer ça

Juste, par règle de composition, on peut écrire phi'(t)= somme de 1 à n des x_i*df(tx)/dxi mais j'vois pas en quoi ça nous avance. Si quelqu'un a une idée, je prends, merci !

Le 07 décembre 2023 à 15:09:53 :
l'op ce demeuré.

ça ne me dérange pas d'être demeuré, tant que je comprends à la fin

Méchanceté à part, je te fais ça quand je rentre du bureau

Ça m'a l'air d'être un troll mais bon, merci si c'est le cas. D'autres personnes sinon ?

Le 07 décembre 2023 à 15:24:40 :
Trivial

Sans aucun doute.

Le 07 décembre 2023 à 15:26:19 :
Faut demander à Antoine là

Espérons qu'il passe par ici.

Le 07 décembre 2023 à 15:49:32 :
phi(a+h) = f((a+h)x) = f(ax + hx) = f(ax) + Df_ax(hx) + o(h) = f(ax) + h.Df_ax(x) + o(h) = f(ax) + h.phi'(a) + o(h)

Salut, merci clé déjà. Comment tu passes de h.Df_ax(x) à h.phi'(a) exactement ?

Bon, peut-être juste en fait :
g:R+*->E tq g(t)=t*x différentiable en x
f:E->F différentiable en tout point donc en f(x)
donc : phi'(t)= Dx(fog)=D_g(x)(f) o D_x(g)
=D_tx(f(D_x(g)))
=D_tx(f(x)) car D_x(g)=x

J'sais pas si ça marche comme ça

Le 07 décembre 2023 à 15:55:41 :

Le 07 décembre 2023 à 15:49:32 :
phi(a+h) = f((a+h)x) = f(ax + hx) = f(ax) + Df_ax(hx) + o(h) = f(ax) + h.Df_ax(x) + o(h) = f(ax) + h.phi'(a) + o(h)

Salut, merci clé déjà. Comment tu passes de h.Df_ax(x) à h.phi'(a) exactement ?

C'est la définition de dérivée :

f(a+h) = f(a) + h.f'(a) + o(h)

Le 07 décembre 2023 à 16:11:33 :
Niveau ccp

ccp c'est plus dur que ca.

La t'as juste besoin d'écrire f(tx+y) et faire un DL quand y tend vers 0 à t et x fixés

Le 07 décembre 2023 à 16:11:33 :
Niveau ccp

Probablement moins.

Le 07 décembre 2023 à 16:10:20 :

Le 07 décembre 2023 à 15:55:41 :

Le 07 décembre 2023 à 15:49:32 :
phi(a+h) = f((a+h)x) = f(ax + hx) = f(ax) + Df_ax(hx) + o(h) = f(ax) + h.Df_ax(x) + o(h) = f(ax) + h.phi'(a) + o(h)

Salut, merci clé déjà. Comment tu passes de h.Df_ax(x) à h.phi'(a) exactement ?

C'est la définition de dérivée :

f(a+h) = f(a) + h.f'(a) + o(h)

Oh d'accord, merci !