[MATHS] Besoin d'aide en Topologie

On a cette définition-ci :

Et cet exercice-là :

Ce qui semble assez naturel. Mais j'ai vraiment pas d'idée de comment montrer ça.
Prenons la question 2 par exemple. On peut donc écrire :

||f(x)||=||x||^k*e_1(x), e_1(x) tend vers 0.
||g(x)||=||x||^l*e_2(x), e_2(x) tend vers 0.

Et on cherche donc à montrer que
||f(x)g(x)||=||x||^(k+l)*e(x) avec e(x) qui tend vers 0.

Sauf que j'vois pas trop comment montrer ça, sachant qu'on a
f(x)g(x)=||x||^k*e_1(x)*||x||^l*e_2(x)
             = ||x||^(k+l)*e(x), avec e(x)=e_1(x)*e_2(x) qui tend bien vers 0 (produit des limites).

Sauf que bah à partir de là, comment faire quoi. Si vous avez une aide ou une piste je vous écoute avec plaisir, merci.

Le 28 septembre 2023 à 17:42:51 :
Bah c’est bon tu as résolu l’exo puisque tu as réussi à exhiber la fonction e qui satisfait bien la condition de la définition (tend vers 0 en 0) et qui est telle que la f(x) .g(x) en norme = x^k * e(x)

Mais il faut que j'ai ||f(x)g(x)|| et là j'ai f(x)g(x), donc c'est pas bon non ?

Le 28 septembre 2023 à 18:02:56 :
J'ai lu trapologie

Ahem pas exactement ça en effet. Mais merci pour ta participation

Le 28 septembre 2023 à 17:37:31 :
On a cette définition-ci :

Et cet exercice-là :

Ce qui semble assez naturel. Mais j'ai vraiment pas d'idée de comment montrer ça.
Prenons la question 2 par exemple. On peut donc écrire :

||f(x)||=||x||^k*e_1(x), e_1(x) tend vers 0.
||g(x)||=||x||^l*e_2(x), e_2(x) tend vers 0.

Et on cherche donc à montrer que
||f(x)g(x)||=||x||^(k+l)*e(x) avec e(x) qui tend vers 0.

Sauf que j'vois pas trop comment montrer ça, sachant qu'on a
f(x)g(x)=||x||^k*e_1(x)*||x||^l*e_2(x)
             = ||x||^(k+l)*e(x), avec e(x)=e_1(x)*e_2(x) qui tend bien vers 0 (produit des limites).

Sauf que bah à partir de là, comment faire quoi. Si vous avez une aide ou une piste je vous écoute avec plaisir, merci.

Il manque la norme à gauche, sachant que la norme sur IR est la valeur absolue qui est une norme d'algèbre donc ça change rien à ton inégalité de les ajouter. T'as juste à écrire calmement les définitions en sachant dans quels espaces tu travailles pour résoudre l'exo, c'est limite de la reformulation

Le 28 septembre 2023 à 18:02:56 :
J'ai lu trapologie

Dommage car on a des spécialistes de ça ici

Le 28 septembre 2023 à 18:08:36 :

Le 28 septembre 2023 à 17:37:31 :
On a cette définition-ci :

Et cet exercice-là :

Ce qui semble assez naturel. Mais j'ai vraiment pas d'idée de comment montrer ça.
Prenons la question 2 par exemple. On peut donc écrire :

||f(x)||=||x||^k*e_1(x), e_1(x) tend vers 0.
||g(x)||=||x||^l*e_2(x), e_2(x) tend vers 0.

Et on cherche donc à montrer que
||f(x)g(x)||=||x||^(k+l)*e(x) avec e(x) qui tend vers 0.

Sauf que j'vois pas trop comment montrer ça, sachant qu'on a
f(x)g(x)=||x||^k*e_1(x)*||x||^l*e_2(x)
             = ||x||^(k+l)*e(x), avec e(x)=e_1(x)*e_2(x) qui tend bien vers 0 (produit des limites).

Sauf que bah à partir de là, comment faire quoi. Si vous avez une aide ou une piste je vous écoute avec plaisir, merci.

Il manque la norme à gauche, sachant que la norme sur IR est la valeur absolue qui est une norme d'algèbre donc ça change rien à ton inégalité de les ajouter. T'as juste à écrire calmement les définitions en sachant dans quels espaces tu travailles pour résoudre l'exo, c'est limite de la reformulation

Désolé de t'embêter, mais j'comprends pas trop, la norme n'est-elle pas celle de l'espace vectoriel E ? et il n'y a pas qu'une norme sur R non ? Vraiment navré, j'suis perdu.

Le 28 septembre 2023 à 18:09:43 :

Le 28 septembre 2023 à 18:02:56 :
J'ai lu trapologie

Dommage car on a des spécialistes de ça ici

Hélas.

Trivial l' OP.

Essaie Cauchy Schwartz

Putain mais tu es sérieux? J'ai l'impression d'être un génie quand je lis ça

Pars de la définition de petit o c'est pas compliqué

||f(x)||/||x^k|| tend vers 0 avec la norme donné sur E
||g(x)||/||x^l|| tend vers 0 avec la norme donné sur E

+ inégalité triangulaire

C'est genre niveau L1 à peine.

Le 28 septembre 2023 à 18:14:50 :
Putain mais tu es sérieux? J'ai l'impression d'être un génie quand je lis ça

Part de la définition de petit o c'est pas compliqué

f(x)/x^k tend vers 0
g(x)/x^l tend vers 0

C'est genre niveau L1 à peine.

Beaucoup plus élégant par Cauchy Schwartz

Le 28 septembre 2023 à 18:13:36 :
Trivial l' OP.

Essaie Cauchy Schwartz

Le 28 septembre 2023 à 18:14:50 :
Putain mais tu es sérieux? J'ai l'impression d'être un génie quand je lis ça

Part de la définition de petit o c'est pas compliqué

f(x)/x^k tend vers 0
g(x)/x^l tend vers 0

C'est genre niveau L1 à peine.

J'ai jamais prétendu être un génie hein, au contraire je suis plutôt mauvais en maths, bref, je vais pas m'étendre là-dessus, j'crois pas avoir méprisé qui que ce soit. en l'occurrence ce qui me pose souci ce sont les normes, la définition en l'occurrence me dit que ||f(x)||/||x||^k = e(x) qui tend vers 0

Les fonctions sont à valeurs dans R, donc la norme est la valeur absolue.

Tu as |f(x).g(x)| = |f(x)|.|g(x)|

Le 28 septembre 2023 à 18:16:53 :
Les fonctions sont à valeurs dans R, donc la norme est la valeur absolue.

Tu as |f(x).g(x)| = |f(x)|.|g(x)|

Salut, merci pour ton aide, la valeur absolue est la seule norme sur R ?

Le 28 septembre 2023 à 18:13:00 :

Le 28 septembre 2023 à 18:08:36 :

Le 28 septembre 2023 à 17:37:31 :
On a cette définition-ci :

Et cet exercice-là :

Ce qui semble assez naturel. Mais j'ai vraiment pas d'idée de comment montrer ça.
Prenons la question 2 par exemple. On peut donc écrire :

||f(x)||=||x||^k*e_1(x), e_1(x) tend vers 0.
||g(x)||=||x||^l*e_2(x), e_2(x) tend vers 0.

Et on cherche donc à montrer que
||f(x)g(x)||=||x||^(k+l)*e(x) avec e(x) qui tend vers 0.

Sauf que j'vois pas trop comment montrer ça, sachant qu'on a
f(x)g(x)=||x||^k*e_1(x)*||x||^l*e_2(x)
             = ||x||^(k+l)*e(x), avec e(x)=e_1(x)*e_2(x) qui tend bien vers 0 (produit des limites).

Sauf que bah à partir de là, comment faire quoi. Si vous avez une aide ou une piste je vous écoute avec plaisir, merci.

Il manque la norme à gauche, sachant que la norme sur IR est la valeur absolue qui est une norme d'algèbre donc ça change rien à ton inégalité de les ajouter. T'as juste à écrire calmement les définitions en sachant dans quels espaces tu travailles pour résoudre l'exo, c'est limite de la reformulation

Désolé de t'embêter, mais j'comprends pas trop, la norme n'est-elle pas celle de l'espace vectoriel E ? et il n'y a pas qu'une norme sur R non ? Vraiment navré, j'suis perdu.

Quand tu t'intéresses à des fonctions deux normes interviennent, celle de l'espace de départ et celle de celui d'arrivé. Ici tu veux majorer I f(x)*g(x) I = I f(x) I * I g(x) I, par un autre terme qui dépend de IIxII où II.II est la norme de l'espace de départ. En effet il y a plusieurs normes sur IR mais quand on ne précise pas on prend évidemment la valeur absolue qui est la norme à partir de laquelle on construit toute la topologie des espaces métriques.
Je résume : tu connais une expression de If(x)I et de Ig(x)I au voisinage de O (je parle du 0 de E ici), ba t'écris I f(x)*g(x) I = I f(x) I * I g(x) I pour majorer ce terme, sachant qu'au voisinage de 0, IIxII<1 donc IIxII² < IIxII.

Le 28 septembre 2023 à 18:20:44 :

Le 28 septembre 2023 à 18:13:00 :

Le 28 septembre 2023 à 18:08:36 :

Le 28 septembre 2023 à 17:37:31 :
On a cette définition-ci :

Et cet exercice-là :

Ce qui semble assez naturel. Mais j'ai vraiment pas d'idée de comment montrer ça.
Prenons la question 2 par exemple. On peut donc écrire :

||f(x)||=||x||^k*e_1(x), e_1(x) tend vers 0.
||g(x)||=||x||^l*e_2(x), e_2(x) tend vers 0.

Et on cherche donc à montrer que
||f(x)g(x)||=||x||^(k+l)*e(x) avec e(x) qui tend vers 0.

Sauf que j'vois pas trop comment montrer ça, sachant qu'on a
f(x)g(x)=||x||^k*e_1(x)*||x||^l*e_2(x)
             = ||x||^(k+l)*e(x), avec e(x)=e_1(x)*e_2(x) qui tend bien vers 0 (produit des limites).

Sauf que bah à partir de là, comment faire quoi. Si vous avez une aide ou une piste je vous écoute avec plaisir, merci.

Il manque la norme à gauche, sachant que la norme sur IR est la valeur absolue qui est une norme d'algèbre donc ça change rien à ton inégalité de les ajouter. T'as juste à écrire calmement les définitions en sachant dans quels espaces tu travailles pour résoudre l'exo, c'est limite de la reformulation

Désolé de t'embêter, mais j'comprends pas trop, la norme n'est-elle pas celle de l'espace vectoriel E ? et il n'y a pas qu'une norme sur R non ? Vraiment navré, j'suis perdu.

Quand tu t'intéresses à des fonctions deux normes interviennent, celle de l'espace de départ et celle de celui d'arrivé. Ici tu veux majorer I f(x)*g(x) I = I f(x) I * I g(x) I, par un autre terme qui dépend de IIxII où II.II est la norme de l'espace de départ. En effet il y a plusieurs normes sur IR mais quand on ne précise pas on prend évidemment la valeur absolue qui est la norme à partir de laquelle on construit toute la topologie des espaces métriques.
Je résume : tu connais une expression de If(x)I et de Ig(x)I au voisinage de O (je parle du 0 de E ici), ba t'écris I f(x)*g(x) I = I f(x) I * I g(x) I pour majorer ce terme, sachant qu'au voisinage de 0, IIxII<1 donc IIxII² < IIxII.

D'accord merci beaucoup pour ton aide !!
Pour la question 1 j'imagine qu'il faudra adopter un raisonnement similaire ?