[MATHS] [L2] Unicité convergence en loi et presque sure ?

Si j'ai Xn une suite de va i.i.d qui cv en loi vers une va X, et que j'arrive à montrer que Xn cv p-s, est-ce que la limite presque sure est nécessairement X

La convergence en loi est une convergence faible. Il s'agit en fait de la convergence étroite des lois de probabilité, et non pas des variables aléatoires.

Tu peux très bien avoir X_n ---> X p.s. et Y p.s. différente de X mais de même loi que X, donc X_n ---> Y en loi.

je suis très surpris que vous fassiez ce type de probabilités en L2
ça ressemble beaucoup plus à de la L3 ou du début de M1

Ensuite je trouve que ta question est pas claire.
Tu arrives à montrer que Xn cv ps, mais vers quoi ? une cv ps se fait toujours vers qqch, pas vers rien

Le 11 août 2023 à 23:04:20 :
je suis très surpris que vous fassiez ce type de probabilités en L2
ça ressemble beaucoup plus à de la L3 ou du début de M1

Ensuite je trouve que ta question est pas claire.
Tu arrives à montrer que Xn cv ps, mais vers quoi ? une cv ps se fait toujours vers qqch, pas vers rien

Dire que la suite converge presque sûrement veut dire qu'il existe une variable aléatoire limite p.s. On peut obtenir la convergence p.s. sans connaître la limite (par exemple avec Borel-Cantelli).

C'est comme quand on dit qu'une suite (réelle disons) converge parce qu'elle vérifie le critère de Cauchy. On ne connaît pas la limite, mais on sait qu'elle existe.

donc en fait sa question c'est :
si Xn -> X en loi
si Xn -> Y ps
a-t-on X=Y ps ?

Comme ça je dirais que non, même si X et Y ont la même loi, l'égalité ps est très forte.

Maintenant faut trouver un contre-exemple

Le 11 août 2023 à 23:10:05 :
donc en fait sa question c'est :
si Xn -> X en loi
si Xn -> Y ps
a-t-on X=Y ps ?

Comme ça je dirais que non, même si X et Y ont la même loi, l'égalité ps est très forte.

Maintenant faut trouver un contre-exemple

Bah par exemple, si X suit la loi normale N(0,1) tu as X = -X en loi, alors qu'on n'a pas X = -X p.s.

Le 11 août 2023 à 23:17:30 DonDoritos31 a écrit :

Le 11 août 2023 à 23:10:05 :
donc en fait sa question c'est :
si Xn -> X en loi
si Xn -> Y ps
a-t-on X=Y ps ?

Comme ça je dirais que non, même si X et Y ont la même loi, l'égalité ps est très forte.

Maintenant faut trouver un contre-exemple

Bah par exemple, si X suit la loi normale N(0,1) tu as X = -X en loi, alors qu'on n'a pas X = -X p.s.

en effeit, j'essayais de penser à une suite qui convergeait mais on peut très bien prendre une suite constante

Ok donc ça marche seulement si les Xn sont indépendantes ?

si oui pourquoi ?

Le 11 août 2023 à 23:37:49 :
Ok donc ça marche seulement si les Xn sont indépendantes ?

Si tu préfères, si X_n converge p.s. et converge en loi vers une constante c, alors X_n ---> c p.s.
Mais c'est parce qu'on identifie les variables aléatoires constantes avec leur constante. En toute généralité, une « limite » en loi n'est pas unique (en termes de variables aléatoires) pour les raisons mentionnées plus haut.

Le 11 août 2023 à 23:45:45 :

Le 11 août 2023 à 23:37:49 :
Ok donc ça marche seulement si les Xn sont indépendantes ?

Si tu préfères, si X_n converge p.s. et converge en loi vers une constante c, alors X_n ---> c p.s.
Mais c'est parce qu'on identifie les variables aléatoires constantes avec leur constante. En toute généralité, une « limite » en loi n'est pas unique (en termes de variables aléatoires) pour les raisons mentionnées plus haut.

Ok j'ai compris

Le 11 août 2023 à 22:45:49 :

Si j'ai Xn une suite de va i.i.d qui cv en loi vers une va X, et que j'arrive à montrer que Xn cv p-s, est-ce que la limite presque sure est nécessairement X

L'op qui fait juste le malin
Les trolls qui feed

Le 12 août 2023 à 01:12:34 :

Le 11 août 2023 à 22:45:49 :

Si j'ai Xn une suite de va i.i.d qui cv en loi vers une va X, et que j'arrive à montrer que Xn cv p-s, est-ce que la limite presque sure est nécessairement X

L'op qui fait juste le malin
Les trolls qui feed

Qu'est-ce que tu racontes toi ?