[MATHS] [L2] Besoin d'aide en Proba

salut les gars, j'ai pas compris comment on est arrivé à l'égalité que j'ai entouré en rouge quelqu'un peut m'expliquer ?

Le 30 juillet 2023 à 09:16:11 :
C'est une L2 math ou le brevet des collèges?

Si tu sais pas c'est pas grave hein mais merci du up

Le 30 juillet 2023 à 09:18:39 :
1(X<=1/n) est une bernoulli

j'ai pas compris tu peux détailler un peu stp ?

Pour comprendre il faudrait que je sache c'est quoi le X majuscule en petit à droite ? Pourquoi les divisions sont avec une barre oblique ? Pourquoi y a un point central à la fin de l'équation ? C'est quoi les accolades sur la gauche ?

Et la conclusion qui dit que la limite blabla me fait penser à qu'il est pas précisé le nombre de terme de la suite, rien que ça déjà je comprends pas comment on peut conclure

Le 30 juillet 2023 à 09:21:07 :

Le 30 juillet 2023 à 09:18:39 :
1(X<=1/n) est une bernoulli

j'ai pas compris tu peux détailler un peu stp ?

Z=1(X<=1/n) prend 2 valeurs soit 0 soit 1
Donc si z >0
P(Z>z) = 0 si z > 1 (Z ne peut pas prendre une valeur >1)
P(Z>z) = P(Z=1) si 0<z<1 (la seule possibilité pour que Z>z est que Z=1)

si la condition vérifiée par l'indicatrice est validée alors à gauche t'as n² et à droite epsilon.
Si elle est pas vérifiée à gauche t'as 0 qui sera donc forcément plus petit que epsilon.

D'où les conditions

A l'intérieur de ta proba, tu as l'inégalité suivant e: n² * 1{X<=1/n} > e
(je note e pour epsilon, et 1{} la fonction indicatrice)

Dans ce genre de cas on y va souvent par dissociation, tu vois que t'as n² * un truc qui vaut au max 1, donc déjà si e >=n², comme tu as :
n² * 1{X<=1/n} <= n² <=e
forcément ton inégalité sera fausse.
--> Dans ce cas: P( un truc pas possible) = 0

Ok maintenant qu'est ce qui se passe si e < n² (rappel : on a déjà vu le cas >= avant)
n² * 1{X<=1/n} >e <=> 1{X<=1/n} > e/n², et e/n² est une quantité POSITIVE donc >0
Encore une fois la fonction indicatrice c'est 1 ou 0, donc tu as 1{X<=1/n} >0 <=> X <= 1/n
Donc ton inégalité est satisfaite uniquement quand ton tirage sera supérieur à 1/n, et donc la probabilité que ton inégalité soit vraie sera égale a la probabilité que X <= 1/n

Le 30 juillet 2023 à 09:31:06 :
A l'intérieur de ta proba, tu as l'inégalité suivant e: n² * 1{X<=1/n} > e
(je note e pour epsilon, et 1{} la fonction indicatrice)

Dans ce genre de cas on y va souvent par dissociation, tu vois que t'as n² * un truc qui vaut au max 1, donc déjà si e >=n², comme tu as :
n² * 1{X<=1/n} <= n² <=e
forcément ton inégalité sera fausse.
--> Dans ce cas: P( un truc pas possible) = 0

Ok maintenant qu'est ce qui se passe si e < n² (rappel : on a déjà vu le cas >= avant)
n² * 1{X<=1/n} >e <=> 1{X<=1/n} > e/n², et e/n² est une quantité POSITIVE donc >0
Encore une fois la fonction indicatrice c'est 1 ou 0, donc tu as 1{X<=1/n} >0 <=> X <= 1/n
Donc ton inégalité est satisfaite uniquement quand ton tirage sera supérieur à 1/n, et donc la probabilité que ton inégalité soit vraie sera égale a la probabilité que X <= 1/n

Mais dans ce cas tu as une implication mais pas l'équivalence ?

Le 30 juillet 2023 à 09:44:28 :

Le 30 juillet 2023 à 09:31:06 :
A l'intérieur de ta proba, tu as l'inégalité suivant e: n² * 1{X<=1/n} > e
(je note e pour epsilon, et 1{} la fonction indicatrice)

Dans ce genre de cas on y va souvent par dissociation, tu vois que t'as n² * un truc qui vaut au max 1, donc déjà si e >=n², comme tu as :
n² * 1{X<=1/n} <= n² <=e
forcément ton inégalité sera fausse.
--> Dans ce cas: P( un truc pas possible) = 0

Ok maintenant qu'est ce qui se passe si e < n² (rappel : on a déjà vu le cas >= avant)
n² * 1{X<=1/n} >e <=> 1{X<=1/n} > e/n², et e/n² est une quantité POSITIVE donc >0
Encore une fois la fonction indicatrice c'est 1 ou 0, donc tu as 1{X<=1/n} >0 <=> X <= 1/n
Donc ton inégalité est satisfaite uniquement quand ton tirage sera supérieur à 1/n, et donc la probabilité que ton inégalité soit vraie sera égale a la probabilité que X <= 1/n

Mais dans ce cas tu as une implication mais pas l'équivalence ?

C'est 2 manières d'écrire la même chose, la bijection est la même

Le 30 juillet 2023 à 09:44:28 :

Le 30 juillet 2023 à 09:31:06 :
A l'intérieur de ta proba, tu as l'inégalité suivant e: n² * 1{X<=1/n} > e
(je note e pour epsilon, et 1{} la fonction indicatrice)

Dans ce genre de cas on y va souvent par dissociation, tu vois que t'as n² * un truc qui vaut au max 1, donc déjà si e >=n², comme tu as :
n² * 1{X<=1/n} <= n² <=e
forcément ton inégalité sera fausse.
--> Dans ce cas: P( un truc pas possible) = 0

Ok maintenant qu'est ce qui se passe si e < n² (rappel : on a déjà vu le cas >= avant)
n² * 1{X<=1/n} >e <=> 1{X<=1/n} > e/n², et e/n² est une quantité POSITIVE donc >0
Encore une fois la fonction indicatrice c'est 1 ou 0, donc tu as 1{X<=1/n} >0 <=> X <= 1/n
Donc ton inégalité est satisfaite uniquement quand ton tirage sera supérieur à 1/n, et donc la probabilité que ton inégalité soit vraie sera égale a la probabilité que X <= 1/n

Mais dans ce cas tu as une implication mais pas l'équivalence ?

Non tu as bien l'équivalence, je l'ai pas écris en entier mais comme on est dans le cas n²> e, tu as 1>e/n²>0.
Et comme 1{...} = 0 ou 1, la dissociation des cas entre si X<=1/n (ou >1/n) te permet de construire l'équivalence

Le 30 juillet 2023 à 09:46:48 :

Le 30 juillet 2023 à 09:44:28 :

Le 30 juillet 2023 à 09:31:06 :
A l'intérieur de ta proba, tu as l'inégalité suivant e: n² * 1{X<=1/n} > e
(je note e pour epsilon, et 1{} la fonction indicatrice)

Dans ce genre de cas on y va souvent par dissociation, tu vois que t'as n² * un truc qui vaut au max 1, donc déjà si e >=n², comme tu as :
n² * 1{X<=1/n} <= n² <=e
forcément ton inégalité sera fausse.
--> Dans ce cas: P( un truc pas possible) = 0

Ok maintenant qu'est ce qui se passe si e < n² (rappel : on a déjà vu le cas >= avant)
n² * 1{X<=1/n} >e <=> 1{X<=1/n} > e/n², et e/n² est une quantité POSITIVE donc >0
Encore une fois la fonction indicatrice c'est 1 ou 0, donc tu as 1{X<=1/n} >0 <=> X <= 1/n
Donc ton inégalité est satisfaite uniquement quand ton tirage sera supérieur à 1/n, et donc la probabilité que ton inégalité soit vraie sera égale a la probabilité que X <= 1/n

Mais dans ce cas tu as une implication mais pas l'équivalence ?

C'est 2 manières d'écrire la même chose, la bijection est la même

Ça marche khey

Le 30 juillet 2023 à 09:50:46 :

Le 30 juillet 2023 à 09:44:28 :

Le 30 juillet 2023 à 09:31:06 :
A l'intérieur de ta proba, tu as l'inégalité suivant e: n² * 1{X<=1/n} > e
(je note e pour epsilon, et 1{} la fonction indicatrice)

Dans ce genre de cas on y va souvent par dissociation, tu vois que t'as n² * un truc qui vaut au max 1, donc déjà si e >=n², comme tu as :
n² * 1{X<=1/n} <= n² <=e
forcément ton inégalité sera fausse.
--> Dans ce cas: P( un truc pas possible) = 0

Ok maintenant qu'est ce qui se passe si e < n² (rappel : on a déjà vu le cas >= avant)
n² * 1{X<=1/n} >e <=> 1{X<=1/n} > e/n², et e/n² est une quantité POSITIVE donc >0
Encore une fois la fonction indicatrice c'est 1 ou 0, donc tu as 1{X<=1/n} >0 <=> X <= 1/n
Donc ton inégalité est satisfaite uniquement quand ton tirage sera supérieur à 1/n, et donc la probabilité que ton inégalité soit vraie sera égale a la probabilité que X <= 1/n

Mais dans ce cas tu as une implication mais pas l'équivalence ?

Non tu as bien l'équivalence, je l'ai pas écris en entier mais comme on est dans le cas n²> e, tu as 1>e/n²>0.
Et comme 1{...} = 0 ou 1, la dissociation des cas entre si X<=1/n (ou >1/n) te permet de construire l'équivalence

Bien vu khey, j'ai tout compris merci pour la preuve complète