[MATHS] Exercice TRIVIAL d'algèbre linéaire

Le 16 mars 2023 à 01:02:59 :
Eh bah merci pour tes réponses mon khey.
Il est probable que ce résultat finisse dans un papier que je souhaite publier, au milieu d'autres résultats (que j'ai démontré seul, ceux là ). Je veux bien y mentionner ton aide mais j'avoue que ça fait chier d'écrire "Je remercie motocultage pour son aide précieuse"
Si tu veux que je te cite et que tu as un autre pseudo, un alias plus "politiquement correct" tu peux me le donner

Pas besoin de me citer, c'est cadeau.

"Le vecteur (1,1,0) n'est pas dans l'ensemble S."

Oui je voulais écrire que le cos vaut 0,9... et non pas juste le produit scalaire. À part ce morceau de vocabulaire, cela change rien à ma remarque...

Le 15 mars 2023 à 08:56:06 :
De manière plus générale, le vecteur minimisant pourra toujours être choisi de la forme u=(a,a,a..,a,b,0,0,..0) avec a>=b>=0. Soit k le nombre de coordonnées égales à a.

Bon je me suis un peu replongé dans ta solution et je t'avoue que je ne comprends pas cette partie.
Tout le reste je peux l'expliquer mais je ne comprends pas comment tu peux savoir que la solution optimale n'est pas de la forme (a,...a,b,...,b,c,...,c,0,...0) avec a>=b>=c >=0, par exemple. C'est quoi la justification ?
Je me sens nul à pas voir ça alors que t'as résolu mon problème en deux minutes putain

Comme tu as up, je précise que ma remarque correspond au cas où la famille de vecteurs est celle des vecteurs à coordonnées dans {-1,0,1}, le vecteur nul étant exclu, comme le suppose l'animation, et non pas dans {-1,1}.

Si c'est aussi ce cas que traite motocultage, il s'est trompé même si on ignore mes réponses (il faut remplacer 'produit scalaire' par cosinus dans ma première réponse...)

Si il traite l'autre cas, sa solution pour n=3 semble également fausse.

Si j'ai tord, j'attends toujours une réponse...

Le 29 mars 2023 à 14:51:04 :
Comme tu as up, je précise que ma remarque correspond au cas où la famille de vecteurs est celle des vecteurs à coordonnées dans {-1,0,1}, le vecteur nul étant exclu, comme le suppose l'animation, et non pas dans {-1,1}.

Je ne sais pas de quelle animation tu parles, mais dans mon problème je me limite aux vecteurs canoniques, leurs opposés et au vecteurs avec QUE des 1/sqrt(n) ou -1/sqrt(n) partout. (Enfin, dans ma première formulation je parlais plutôt de vecteurs avec QUE des 1 ou des -1 partout mais puisque je parlais de plus proche voisin angulaire, il fallait de toutes façons les normaliser)
Désolé si ça n'était pas clair

Si c'est aussi ce cas que traite motocultage, il s'est trompé même si on ignore mes réponses (il faut remplacer 'produit scalaire' par cosinus dans ma première réponse...)

Si il traite l'autre cas, sa solution pour n=3 semble également fausse.

Il a fait un typo dans sa solution pour n=3, comme tu l'avais soulevé. Mais sinon en posant proprement le raisonnement je trouve un truc similaire à la réponse qu'il avait annoncé (et quand je demande à l'ordi une approximation de la réponse il donne aussi un truc extrêmement proche de ça).
Je n'avais pas du tout eu l'idée de dire que par symétrie on pouvait se limiter à la recherche d'une solution dont les coordonnées sont classées dans l'ordre décroissant, mais une fois cette hypothèse faite, en faisant des calculs détaillés dans mon coin j'ai effectivement trouvé les réponses qu'il avait annoncé (modulo ce typo) en dimension 3 et 4.
Le problème c'est que pour le cas général je ne vois pas comment s'en sortir car il me semble que l'une de ses affirmations (que je peux résumer en "il est impossible que trois coordonnées du vecteur u soient distinctes ET non-nulles") est loin d'être évidente à prouver, en admettant qu'elle soit vraie.

Je regardais le cas des vecteurs à coordonnées dans {1,-1}, comme dans le premier post de l'OP.
Pour n=3, je m'étais planté sur la normalisation effectivement.

Pour ce qui est du vecteur minimisant: il est de la forme (a,a,...,a,b,0,...,0): si je suppose que le vecteur minimisant a l coordonnées nulles à la fin et k coordonnées égales au début, il peut être equidistant de 2^l vecteurs du deuxième type et k vecteurs du premier type. Du moment que k+2^l>=n, il est équidistant d'au moins n vecteurs de la famille. Les coordonnées intermédiaires ne changent rien au produit scalaire avec les vecteurs sélectionnés du premier type; mais changent le produit scalaire avec les vecteurs du deuxième type. A a fixé, le choix des coordonnées intermédiaires qui minimise le produit scalaire avec les vecteurs du deuxième type est (b,0,...,0), donc le vecteur optimal sera de cette forme là.

Omg je viens de comprendre

Ok là sa solution fait sens...

Je pensais que tous les vecteurs étaient à coordonnées dans {-1,0,1}, ou bien tous à coordonnées dans {-1,1}. J'avais trouvé bizarre ta formulation initiale mais je l'avais juste mal lue en fait. Au temps pour moi.

Le 29 mars 2023 à 22:52:37 :
Je regardais le cas des vecteurs à coordonnées dans {1,-1}, comme dans le premier post de l'OP.
Pour n=3, je m'étais planté sur la normalisation effectivement.

Pour ce qui est du vecteur minimisant: il est de la forme (a,a,...,a,b,0,...,0): si je suppose que le vecteur minimisant a l coordonnées nulles à la fin et k coordonnées égales au début, il peut être equidistant de 2^l vecteurs du deuxième type et k vecteurs du premier type. Du moment que k+2^l>=n, il est équidistant d'au moins n vecteurs de la famille. Les coordonnées intermédiaires ne changent rien au produit scalaire avec les vecteurs sélectionnés du premier type; mais changent le produit scalaire avec les vecteurs du deuxième type. A a fixé, le choix des coordonnées intermédiaires qui minimise le produit scalaire avec les vecteurs du deuxième type est (b,0,...,0), donc le vecteur optimal sera de cette forme là.

Yes bon merci pour la réponse, vraiment génial !
Finalement ce résultat ne sera sûrement pas dans le papier que j'écris mais peut-être dans un autre, qui sait Hésite pas à upper ce topic un jour si tu changes d'avis et que tu veux que je te cite.