[MATHS] Un khey VRAIMENT DOUE svp ?

Salut

Est-ce que quelqu'un saurait prouver ou réfuter que pour toute matrice carrée M à coefficients réels, les valeurs propres de M^t * M sont les carrés des valeurs propres de M ?

contre exemple :

M = (0 0)
    (1 0)

il y en plein d'autres en fait :

tM * M est symétrique réelle, donc ses valeurs propres sont réelles ; or M peut très bien avoir des valeurs propres non réelles dont le carré n'est pas réel

par exemple une matrice de rotation

M = (cos(t) -sin(t))
    (sin(t) cos(t))

les valeurs propres sont exp(i t) et exp(-i t), dont le carré vaut exp(2it) et exp(-2it). Or tM*M vaut l'identité dont les valeurs propres valent 1, dont suffit de prendre un t non multiple entier de π

Le 21 septembre 2021 à 10:07:19 :
contre exemple :

M = (0 0)
    (1 0)

il y en plein d'autres en fait :

tM * M est symétrique réelle, donc ses valeurs propres sont réelles ; or M peut très bien avoir des valeurs propres non réelles dont le carré n'est pas réel

D'acc merci !
Mais j'ai oublié de préciser qu'on suppose que M est diagonalisable.

Le 21 septembre 2021 à 10:11:16 :

Le 21 septembre 2021 à 10:07:19 :
contre exemple :

M = (0 0)
    (1 0)

il y en plein d'autres en fait :

tM * M est symétrique réelle, donc ses valeurs propres sont réelles ; or M peut très bien avoir des valeurs propres non réelles dont le carré n'est pas réel

D'acc merci !
Mais j'ai oublié de préciser qu'on suppose que M est diagonalisable.

regarde mon edit avec la matrice de rotation alors

Je vois, merci beaucoup !
Mais y a quand même l'air d'avoir un lien, non ?
Même sur tes exemples.

Par exemple sur les normes, dans ce cas :
Les valeurs propres de M^t M auraient pour norme les carrés des normes des valeurs propres de M ?

Ou encore "Si M est diagonalisable dans R, alors les vp de M^t M sont les carrés des vp de M" ?

Le 21 septembre 2021 à 10:14:13 :
Je vois pas trop ce qui t'a poussé à te poser cette question mais content que tu aies trouvé réponse

Un exo à la con que je dois résoudre et je suis amené à me poser cette question pour tenter de le résoudre.

Le 21 septembre 2021 à 10:04:01 :
Oui

(merci au fait)

Le 21 septembre 2021 à 10:21:13 :
Je vois, merci beaucoup !
Mais y a quand même l'air d'avoir un lien, non ?
Même sur tes exemples.

Par exemple sur les normes, dans ce cas :
Les valeurs propres de M^t M auraient pour norme les carrés des normes des valeurs propres de M ?

Ou encore "Si M est diagonalisable dans R, alors les vp de M^t M sont les carrés des vp de M" ?

Ce truc marche si M est symétrique réelle, mais sinon non

• Si M est symétrique réelle, on sait qu'elle est diagonalisable dans une base orthonormée avec des valeurs propres réelles, c'est à dire qu'il existe une matrice P orthogonale et une matrice D diagonale réelle telle que M = P D tP. Donc tM M = P D^2 tP et on conclut que les valeurs propres de tM M sont bien le carré de celles de M
• Si tu enlèves la condition symétrique ça ne fonctionne plus. Pour voir ça, voici un exemple d'une matrice M réelle, diagonalisable dans R telle que les valeurs propres de tM M ne sont pas le carré de celles de M :

M = (1 1)
    (0 0)

M est bien diagonalisable dans R avec comme valeurs propres 0 et 1

Or,

tM M = (1 1)
       (1 1)

qui a pour valeurs propres 0 et 2.

Le 21 septembre 2021 à 11:12:29 :
T'es vraiment un héros khey, tu ne te rends pas compte à quel point.

je suis pas un héro, je suis prof en fait