dérivée de f(x) help

Les kheys j'ai un soucis sur la question d'un exercice, l'algèbre remonte à loin pour moi, si quelqu'un peut me donner un coup de main

Cocher les approximations de f’(x):

- (f(x+ε)-f(x)) / ε
- (f(x+ε)-f(x-ε))) / (2*ε)
- (f(x)-f(x-ε)) / ε
- (f(x+ε)-2f(x)+f(x-ε)) / (ε*ε)

C'est pas de l'algèbre

Remplace f(x+h) par f(x) + hf'(x) et regarde si ça donne f'(x) a la fin

Premier truc car:

f'(x) = lim_{ε->0} [f(x+ε)-f(x)]/ε

Deuxième truc car :

[f(x+ε)-f(x-ε)] = f(x+ε) - f(x) - [f(x-ε) - f(x)]

[f(x+ε)-f(x-ε)]/(2ε) = [f(x+ε) - f(x)]/(2ε) - [f(x-ε) - f(x)]/(2ε)

Quand tu passes à la limite ça donne f'(x)

Troisième truc aussi je pense

Le 16 août 2021 à 11:24:53 :
Du coup l'OP ?

Je vais tester ça cet après midi

Le 16 août 2021 à 11:18:28 :
Premier truc car:

f'(x) = lim_{ε->0} [f(x+ε)-f(x)]/ε

Deuxième truc car :

[f(x+ε)-f(x-ε)] = f(x+ε) - f(x) - [f(x-ε) - f(x)]

[f(x+ε)-f(x-ε)]/(2ε) = [f(x+ε) - f(x)]/(2ε) - [f(x-ε) - f(x)]/(2ε)

Quand tu passes à la limite ça donne f'(x)

Troisième truc aussi je pense

Bah justement le deuxième donne 0

Comment ça 0 ?

f'(x) = lim_{ε->0} [f(x+ε)-f(x)]/ε

Si on pose h = -ε

On a : f'(x) = lim_{h->0} [f(x-h) - f(x)]/(-h) = lim_{h->0} - [f(x) - f(x-h)]/h

Donc dans la configuration du 2e choix ça donne bien f'(x)

Le 16 août 2021 à 11:26:55 :
Les bonnes réponses c'est 1 et 3

Si tu comptes le 3, tu comptes aussi le 2. [Voir ce que j'ai fait au-dessus]

Le 16 août 2021 à 11:29:55 :
Bah non justement c'est f'(x) - f'(x) = 0

Non c'est pas f'(x) - f'(x) c'est 1/2 [f'(x) + f'(x)]

Si tu prends f(x-e) alors tu as un - qui apparait devant la fraction.

Le 16 août 2021 à 11:34:46 :
Ah oui j'ai mal lu un signe

Tkt c'est rien

La 2 au voisinage de a (quand h tend vers 0)

1) f(a+h)=f(a)+f’(a)h+f’´(a)h^2/2+o(h^2)

2) f(a-h)=f(a)-f’(a)h+f’´(a)h^2/2+o(h^2) (par changement de variable -h)

1) - 2) : f(a+h)-f(a-h)=2f’(a)h + o(h^2)

D’où f’(a)=f(a+h)-f(a-h)/2h + o(h)

Donc 2 est bon

Le 16 août 2021 à 11:38:55 :
La 2 au voisinage de a (quand h tend vers 0)

1) f(a+h)=f(a)+f’(a)h+f’´(a)h^2/2+o(h^2)

2) f(a-h)=f(a)-f’(a)h+f’´(a)h^2/2+o(h^2) (par changement de variable -h)

1) - 2) : f(a+h)-f(a-h)=2f’(a)h + o(h^2)

D’où f’(a)=f(a+h)-f(a-h)/2h + o(h)

Donc 2 est bon (les hypothèses de régularité et de dérivation sont pas évoquées mais voilà quoi )

Et le 3 aussi.
Parce que le 3 vient valider le 2 en fait.

Le 16 août 2021 à 11:28:58 :
Comment ça 0 ?

f'(x) = lim_{ε->0} [f(x+ε)-f(x)]/ε

Si on pose h = -ε

On a : f'(x) = lim_{h->0} [f(x-h) - f(x)]/(-h) = lim_{h->0} - [f(x) - f(x-h)]/h

Donc dans la configuration du 2e choix ça donne bien f'(x)

je voulais plutôt écrire 'lim_{h->0} - [f(x-h) - f(x)]/h