[Math] comment factoriser des expressions quadratiques ?

Help les matheux, P.ex :

(2x^2 - 3xy+y^2-x-1)

si je veux le factoriser, je vais faire quelque chose comme :

(ax o by o c) (dx o ey o f)

et boucher les trous à l'instinct quoi ... (les + - à la place des o puis déterminer abcdef) ...

et j'aboutirai à

(-2x+y-1)(-x+y+1)

ça marche quoi ... mais y a pas une méthode, une façon plus intelligente et systématique de factorise ? plutôt que de tâtonner en essayant tous les coefs ? parce qu'ici dans cette facto, je suis resté comme un abruti 5 minutes sur (2x .... ) (x ... ) avant de penser à - 2x et -x ... C'est frustant.

Quand c'est un polynôme d'une seule variable typiquement on peut juste chercher une racine élémentaire parmi les diviseurs du terme indépendant puis factoriser avec Horner p.ex.

Mais ici j'vois pas trop quoi faire d'autre que le doigt mouillé. Après c'est pas trop trop contraignant tant qu'il n'y a que deux variables mais s'il pouvait exister une méthode ça serait pas mal.

Le 10 mars 2021 à 16:36:02 PrepaMaths a écrit :
T'as une equa du second degré en x. Assure toi que le delta soit un carre parfait!

Oui, j'ai pensé à utiliser ce genre de truc. J'imagine que tu voudrais factoriser sur les racines... Mais je me retrouve avec un discriminant qui vaut y^2+6y+2. ça me paraissait prise de tête de ce côté là.

Le 10 mars 2021 à 22:17:39 PrepaMaths a écrit :
Tu l'as mal calculé

Oui, en effet, c'est (y+3)^2 mais c'est juste un coup de bol pour le coup... Enfin, tu as raison, ça reste toujours une possibilité

Le 11 mars 2021 à 10:58:55 PrepaMaths a écrit :
Non c'est pas un coup de bol. Si tu tombes sur une expression dégueu pas possible de factoriser ta forme quadratique

mh.... pas mal. J'vais l'appliquer à d'autres exemples ! Merci PrepaMaths.

Le 11 mars 2021 à 10:58:55 PrepaMaths a écrit :
Non c'est pas un coup de bol. Si tu tombes sur une expression dégueu pas possible de factoriser ta forme quadratique

Je vais rebondir là dessus parce qu'il y a une interprétation géométrique qui peut rendre tout ça un peu plus clair.
Si on regarde l'équation générale aX² + bXY + cY² + dX + eY + f = 0, ça décrit en général une coa​ime. Donc soit une ellipse, une parabole ou une hyperbole, avec quelques cas dégénérés, genre l'union de deux droites, un point, l'ensemble vide...

Une équation de la forme (aX + bY + c)(dX + eY + f) = 0 ça ne décrit que l'union de deux droites, donc c'est vraiment un cas très particulier de coa​ime.