[MATHS] exercice prépa MP

[22:47:47] <Motocultage>

Le 03 février 2021 à 22:41:15 Duterte0 a écrit :

[22:39:07] <Motocultage>
Bizarre comme question
Si A n'est pas symétrique, la donnée de son spectre ne détermine pas sa norme triple

Peut être qu'il faut utiliser le fait que tAA soit symétrique et trouver une relation entre les valeurs propres de tAA et A ?( j'ai essayé mais sans succès)

Non, la question semble fausse.

Par exemple dans R^2. Tu peux u et v deux vecteurs non colinéaires tels que ||u-v||=1 et ||u|| >=N.
On considère la symétrie s(xu+yv)=xu-yv pour x,y dans R.

Alors s(u-v)=u+v et ||u+v||>=2||u||-2||u-v||>=2N-2. Donc |||s|||>=2N-2. Il existe donc des symétries de norme triple arbitrairement grandes, ce qui prouve que le spectre ne détermine pas la norme triple.

Ah tu veux dire qu'il manquerai une hypothèse pour résoudre la question

Mais il suffit de co-diagonaliser A et tA et utiliser 2)4)

J'ai pas regardé la construction de son contre-exemple mais il faut bien vérifier que c'est un endomorphisme diagonalisable

Le 03 février 2021 à 22:54:51 Marc_Renton a écrit :
Mais il suffit de co-diagonaliser A et tA et utiliser 2)4)

J'ai pas regardé la construction de son contre-exemple mais il faut bien vérifier que c'est un endomorphisme diagonalisable

A et tA ne sont pas forcément co-diagonalisables, même quand A est diagonalisable

Et mon contre-exemple c'est des symétries, donc c'est bien sûr diagonalisable.

Après, je dis juste que |||A||| ne peut pas s'exprimer qu'en fonction de lambda_1,...lambda_n.
Mais on doit pouvoir concocter une formule en fonction aussi des produits scalaires entre vecteurs propres.

Le 04 février 2021 à 00:08:10 Le_CourroucE a écrit :
Il s'agit évidemment du rayon spectral qui coïncide avec la norme subordonnée comme l'explique le vdd

Ahi je sais plus faire de maths, la réponse me paraît évidente, limite je peux faire un dessin pour le montrer mais la preuve j'ai une flemme colossale