Enigme mathématiques pour les khreys

Pour quelconque nombre N, on définit A et B comme deux ensembles répartissant les chiffres qui composent N.
Càd que si N=1976, on peut avoir A=1 et B=976, ou A=19 et B=76, ou encore A=197 et B=6. Existe t-il un nombre entier N (positif) pouvant être séparé en A et B tel que N=A*B ??

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Le 21 mai 2020 à 16:08:32 -Emperor_ a écrit :
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Quel talent

Mes connaissances en maths de font lointaines, cependant, je ne pense pas que ça existe.

Si on prend par exemple N=9999, alors la valeur maximale pour A*B est atteinte pour A=B=99.
Or, 99*99= 9801, on voit qu'on est en dessous de la valeur demandée.

Si on prend N avec 4 chiffres et A et B avec 2 chiffres. Il faudrait que B soit égal à 100 pour que, une fois multiplié par A, soit égal à N. (C'est très confus, je sais)

Par exemple, admettons 1784
A=17, B=84, N=1784
Si on fait 1784/17 = 104,9..., Donc B doit valoir au moins 105.
Même si on limite la valeur de N à 1700, 1700/17 = 100, B doit valoir 100, or il ne peut avoir que 2 chiffres, donc c'est impossible.

Cependant si on prend 999999... avec 2k "9", et A=B avec k "9". Alors c'est possible si k tend vers l'infini car 99999... à l'infini vaut 100000...

Le 21 mai 2020 à 16:19:07 Nadoxy a écrit :
Ou bien 0 tout simplement car l'op a spécifié Positif au lieu de Strictement Positif

0 n'est pas une réponse possible bien entendu

Sinon, je ne peux pas valider ta réponse, Tu ne prouves pas qu'il n'ya pas de nombre N pour lequel c'est impossible

J'ai écrit vite, et j'obtiens ça :
N = _A_ _B_=10A+B, pour A, B naturels, positifs, A,B pas nuls en même temps.
On veut aussi N=A*B

Analyse :
Alors 10A=B(A-1)
Donc A divise B(A-1)

Or A est premier avec A-1 : lemme de Gauss, A doit diviser B.
B=nA, n entier naturel.
On obtient 10A=nA(A-1)

. Si A = 0, N=B, mais A*B = 0 force, grâce à A*B=N, B = 0, c'est impossible.
. Sinon :
2*5=n(A-1)
Donc A-1 dans {2,5} par factorisation, ie A dans {3,6}.

Synthèse :
. Si A = 3, 10A+B=AB donne 30=2B, B=15.
Alors N = 315, mais 3*15 != 315. Impossible.

. Si A=6, 10A+B=AB donne 60=5B, B=12.
Alors N=612, mais 6*12 = 72 != 612. Impossible.

De tels A,B n'existent pas.

Il doit y avoir une solution analytique en regardant la courbe xy=10x+y, mais ça ne me saute pas aux yeux.
Nadoxy a probablement eu une bonne intuition.

N a "n" chiffres, B en a "b" et A en a "a".

La partie entière de Log en base 10 de x renvoie le nombre de ses chiffres moins un. Jle démontre pas, je considère ça acquis. (Log(123)+1≈3,…)

Donc (logN)+1>=n, idem pour (logA) et (logB).
Or, (logX)+1=x n'est possible que si X est une puissance de 10 (10, 100, 1000…), mais dans ce cas là, B vaudra toujours 0, car il n'y a que des zéros après le 1. Logique. Enfin je crois.
Donc on peut écrire (logN)+1>n et (logA)+1>a et (logB)+1>b. On a exclu les puissances de 10 en valeurs possibles pour N et par la même occasion le signe égal.

On a donc N = A*B
Les crochets signifient partie entière.
[logN]+1 = [(logA*B)]+1
([logN]+1 = [logA]+1+[logB]+1) = (n=a+b) cf. plus haut

Or la partie entière de logN,A,B est toujours inférieure au logN,A,B en entier.

[logA]+1=a
[logA]<a
logA<a
A<10^a
A>10^(a+1)

Il faut donc que A > 10^(a+1) ou B > 10^(b+1), or ça voudrait dire que A a "a+1" chiffres ou que B a "b+1" chiffres.
On se retrouve avec a=a+1, b=b+1. Impossible sauf à l'infini.

Le 21 mai 2020 à 17:37:52 :
N a "n" chiffres, B en a "b" et A en a "a".

La partie entière de Log en base 10 de x renvoie le nombre de ses chiffres moins un. Jle démontre pas, je considère ça acquis. (Log(123)+1≈3,…)

Donc (logN)+1>=n, idem pour (logA) et (logB).
Or, (logX)+1=x n'est possible que si X est une puissance de 10 (10, 100, 1000…), mais dans ce cas là, B vaudra toujours 0, car il n'y a que des zéros après le 1. Logique. Enfin je crois.
Donc on peut écrire (logN)+1>n et (logA)+1>a et (logB)+1>b. On a exclu les puissances de 10 en valeurs possibles pour N et par la même occasion le signe égal.

On a donc N = A*B
Les crochets signifient partie entière.
[logN]+1 = [(logA*B)]+1
([logN]+1 = [logA]+1+[logB]+1) = (n=a+b) cf. plus haut

Or la partie entière de logN,A,B est toujours inférieure au logN,A,B en entier.

[logA]+1=a
[logA]<a
logA<a
A<10^a
A>10^(a+1)

Il faut donc que A > 10^(a+1) ou B > 10^(b+1), or ça voudrait dire que A a "a+1" chiffres ou que B a "b+1" chiffres.
On se retrouve avec a=a+1, b=b+1. Impossible sauf à l'infini.

hmmmm

On a donc N = A*B
Les crochets signifient partie entière.
[logN]+1 = [(logA*B)]+1
([logN]+1 = [logA]+1+[logB]+1) = (n=a+b) cf. plus haut

Je sais pas si c'est vrai ça

+ j'ai pas compris cette partie

[logA]+1=a
[logA]<a
logA<a
A<10^a
A>10^(a+1)